数学分析上 册 · 预 习 讲 义

这一页不教数学，它是全书的地图。后面十一章的顺序不是"章节安排"，而是一条单向的依赖链：每个新概念都要用前一个概念来定义。所以这一页也顺便回答：为什么不能从第 6 章开始读。

五分钟把这张表读完，你就知道这学期要学的十二件事各自在解决什么问题。卡住的时候，回到这张表定位，再点章节进去看细节。

这张表怎么用。它不是目录，是导航：四列各有分工，一次只盯一列。

为什么这十二件事排这个顺序。它是一条单向的依赖链：后一个概念的定义里，一定有前一个概念。链的起点是数轴有洞：有理数密密麻麻，却漏掉了 $\sqrt2$ 那一点。不补这个洞，每次"取极限"都悬空：极限值可能不在你所在的世界里。第 1 章先补洞，代价是引入一个古怪的定义：$\sup$ 不一定是集合里的元素。

补好洞才敢谈"无限接近"。第 2 章的 $\eps$-$N$ 里，"单调有界必收敛"这一步就是靠第 1 章的 $\sup$ 证出来的；第 3 章只把 $n\to\infty$ 换成 $x\to x_0$、$N$ 换成 $\delta$，骨架没动；第 4 章的连续是"极限等于函数值"，第 5 章的导数是商式的极限——都是第 3 章换了名字。

第 6 章开始付利息：中值定理把导数信息翻译成函数值信息，靠的是第 4 章的最值定理；第 7 章回头发现，确界、区间套、有限覆盖其实是同一件事。第 8 章把求导反着问，第 9 章用第 6 章把两边接上：Newton–Leibniz 公式就这么证；第 10、11 章追问的则是：最后那个极限还在不在。

如果只能记住三句话：数轴没有洞，取极限才有落脚点；每个"接近"都写成"你给 $\eps$，我给 $N$ 或 $\delta$"；定理的条件是承重的，删一条就要举得出反例。

这一章不讲实数，也不讲极限，只装工具。第 1 章你会遇到第一个真正的定义（上确界）和第一个真正的反证（$\sqrt2$ 是无理数），写它们靠的就是本章的三样东西：量词、定义、证明动作。这一章读不顺，后面卡住时往往不是"数学难"，而是"句子没读懂"——回到 0.2、0.3 重读一遍，通常就通了。

你即将开始的第一门专业课，和高中最大的不同不在难度，而在说话的方式。高中你被要求"求出答案"，大学你被要求"论证答案"。同一个命题，高中写三行，分析课上要写半页——多出来的部分，就是这门课真正教的东西。

0.1 从"会算"到"会证"：一个例子

高中学过 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。当时的"证明"通常是这样：画一个单位圆，用面积夹逼，得到 $\sin x < x < \tan x$，再夹一下。

这个证明在高中是合格的，但在分析课上会被追问三个问题：

• $x$ 是什么？ 弧度制下，$x$ 是一个实数——但"角的大小"和"实数"为什么能等同？这需要先定义 $\sin$。
• 面积是什么？ 用面积夹逼，前提是"扇形面积"有定义。而面积的严格定义要等到定积分那一章。
• $\sin x < x$ 对哪些 $x$ 成立？ 只对 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 成立。换一个范围，不等式方向可能反了。

三个问题都指向同一件事：你不能用后面才建立的东西，去证明前面的结论。这就是"循环论证"，是分析里最常见的失分点，也是最难自己发现的错误。

循环论证不止这一种形态。换一门课、换一个符号，它就换一件衣服出现，而且往往看起来"很有道理"。下面两个例子在作业里的出现频率高得惊人。

第二个例子是 Taylor。拿带 Lagrange 余项的 Taylor 公式去证中值定理，方向反了——Lagrange 余项本身就是用（Cauchy）中值定理证出来的。正确的依赖链只有一条：Rolle → Lagrange → Cauchy → Taylor 余项。带 Peano 余项的那种 Taylor 说的是另一件事：它只断言"误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小"，属于极限语言；要给出误差的具体表达式，才轮得到中值定理上场。两个"Taylor 公式"不是同一件东西，这是第 6 章要分清的地方。

自查的办法很机械：把这一步用到的定理抄成一张清单，逐个看它们的证明里有没有出现你正在证的东西。第二个办法是翻目录——结论在书上的位置比你所用的定理更靠前，那多半就是在转圈。第三个办法最狠：把定理的条件逐条写在纸上，问"我这一步凭什么满足它"，答不上来的那一条，就是漏洞。

本节带走：分析不是把微积分算得更难，而是把“为什么可以”写成别人无法反驳的文字。

0.2 量词：一句话的意思由顺序决定

分析里几乎每个定义都是量词串。读它们的方法只有一个：从外往里，一个一个念出来。

先把这三个符号换回生活里的话。设想一间办公室，柜子里躺着三把钥匙：

(甲) 每个人都有一把钥匙。骨架是 $\forall$ 人 $\exists$ 钥匙。张三拿 A，李四拿 B，钥匙随人走，换个人就可能是另一把。

(乙) 有一把钥匙，人人可用。骨架是 $\exists$ 钥匙 $\forall$ 人。存在同一把钥匙，谁来都开它。甲乙可以同时为真，但它们说的不是同一件事。

差别不在语气，在"是不是同一把"：(甲) 允许每次换一把，(乙) 必须从头到底同一把。数学里 $\exists$ 只保证"找得到"，不保证"每次找到的是同一个"，所以顺序一换，"每次都能找到"就悄悄变成了"有一个通用的"。极限定义里的 $\eps$ 和 $N$，就是那间办公室里的"人"和"钥匙"。

看下面两句话，它们只差一个顺序：

$$(\mathrm{A})\quad \forall x\in\R,\ \exists y\in\R,\ x<y \qquad (\mathrm{B})\quad \exists y\in\R,\ \forall x\in\R,\ x<y$$

(A) 说：随便给一个数，我总能找到比它大的数。这是真的——你给 $y=x+1$ 就行，$y$ 可以依赖 $x$。

(B) 说：存在一个数，它比所有实数都大。这是假的——实数没有最大值。

这正是"数列收敛"定义的精华所在：

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\N,\ \forall n>N:\ |a_n-a|<\varepsilon$$

$N$ 可以依赖 $\varepsilon$（$\varepsilon$ 越小，$N$ 通常越大），但 $N$ 不能依赖 $n$（否则就是循环）。把这个依赖关系想清楚，第二章就过了一半。

同一个陷阱在极限的定义里更隐蔽。把 $\forall\eps\,\exists N$ 偷换成 $\exists N\,\forall\eps$，读起来像"存在一个 $N$ 一步到位"，其实强得多：

$$\exists N\in\N,\ \forall\eps>0,\ \forall n>N:\ |a_n-a|<\eps$$

固定一个 $n>N$，这话要它对所有 $\eps>0$ 都成立。若 $a_n\ne a$，取 $\eps=\dfrac{|a_n-a|}{2}$ 立刻矛盾。所以它其实等价于"从某一项起，$a_n$ 恒等于 $a$"——只有最终为常数的数列才合格。收敛比它弱得多：$\dfrac1n\to0$，但它绝不满足这个强条件。

否定：把整句话翻过来

否定量词只有两条规则，但要背到条件反射：

$$\lnot(\forall x,\ P(x)) \iff \exists x,\ \lnot P(x), \qquad \lnot(\exists x,\ P(x)) \iff \forall x,\ \lnot P(x)$$

否定时，量词逐个翻转，最后把谓词取反。取反时最容易漏的是不等号方向。例如"$a_n$ 有界"：

$$\exists M>0,\ \forall n\in\N:\ |a_n|\le M \quad\Longleftrightarrow\quad \lnot:\ \forall M>0,\ \exists n\in\N:\ |a_n|>M$$

"有界"的否定不是"有界且反过来"，而是"无论给多大的界，都能挑出一项冲出去"——也就是无界。这句话在证明"数列无界"时天天用。

本节带走：量词从左往右念：后面的可以依赖前面的，反过来不行。

0.3 定义是什么：一份可以逐字翻译的合同

数学定义不是"描述感觉"，而是给一组条件起个名字。它有两个方向，考试和证明里都要用：

所以读一个新定义时，请做三件事：

1. 翻译成量词串。每个定义都能写成 $\forall/\exists$ 的句子，写不出来说明没读懂。
2. 找一个满足它的例子。越具体越好，最好能画出来。
3. 找一个"几乎满足但不满足"的例子。去掉某个条件会怎样？这一步决定你以后会不会用错定理。

举个例子："$M$ 是集合 $S$ 的上界"定义为 $\forall x\in S,\ x\le M$。只改一个字，变成 $\exists x\in S,\ x\le M$，就几乎总是真的、毫无用处。定义里每个量词都在承重。

具体核对一遍。取 $S=(0,1)$：$M=2$ 是上界吗？是，每个 $x\in S$ 都满足 $x<2$。$M=1$ 呢？也是——开区间里的 $x$ 都小于 $1$，而 $1$ 本身不在 $S$ 里，不用管它。$M=\frac12$ 呢？不是，取 $x=\frac34\in S$ 立刻反例。三个数一过就会发现：上界有无穷多个，"上界"是个形容词性的、不能唯一确定对象的说法——这正是第 1 章要另立"最小上界"的原因。

为什么非定义不可？因为"大家都懂"的词，其实各人懂的不一样。以"连续"为例：说"图象不断开"好像已经很清楚了，可"断开"本身还等着被定义；更要紧的是，历史上"连续"曾经是另一个意思。

定义像一个只写了条件和名字的合同：签之前你只核对条件，签之后你能拿到的也只有条件里写的东西。定理则是"凭这份合同能办成什么事"。所以读定义时，问"它到底承诺了什么、没承诺什么"，比问"它想表达什么感觉"有用得多。

本节带走：定义是双向的合同：判定时是目标，使用时是武器。

0.4 三种证明动作与一种更重要的动作

但比这三种更重要的是第四种：举反例。一个反例可以推翻一整节课的猜想，而且是检验自己是否真懂的唯一标准。请养成习惯——每学一个定理，问一句："如果把'闭区间'换成'开区间'，还成立吗？"这一年的很多考点，答案都是"不成立"，反例就藏在课后习题里。

还有一种动作高中最熟、进了分析反而容易被忘记：数学归纳法。它适合"对一切 $n\in\N$ 都成立"的命题——Bernoulli 不等式 $(1+x)^n\ge 1+nx$、$(\sin x)^{(n)}$ 的通项公式、$\sum_{k=1}^n k^2$ 的求和公式，都是它的地盘。判断标准很干脆：结论里的"任意"如果指的是自然数，先想归纳。

但归纳法有天花板：它一步一步爬自然数，永远停在有限处，证不了极限。$\sqrt2$ 的十进制截断 $1.4,\ 1.41,\ 1.414,\dots$ 每一项都是有理数，极限 $\sqrt2$ 却不是。每一步都合法，一落到无限处就出了界——这就是第 1 章要先把数轴上的洞补上（确界原理）才能谈"这个数列有极限"的原因。这是全书第一次遇到"有限对、无限不一定对"，值得在这里停一下。

本节带走：直接证、反证、构造之外，最有价值的动作是举反例。

0.5 记号：全书通用语言

这些记号不是装饰，每一个都在替你省一句话。

集合就是一袋东西：没有顺序，也没有重复（$\{1,2\}=\{2,1\}$，$\{1,1\}=\{1\}$）。映射像发票与座位：每张票必须对应一个座位（唯一像），但不同票可以落在同一个座位上（不要求单射）。原像 $f^{-1}(B_0)$ 是从座位反查票：这个座位区可能没人（空集），也可能挤着好几张票。邻域则把"足够近"变成了数字：$U(x_0,\delta)$ 就是"离 $x_0$ 不到 $\delta$"的那一段；去心邻域把 $x_0$ 自己抠掉，因为极限只问路上的情况，不问终点站着谁。

记号的价值就在这里：$f^{-1}(B_0)$ 这几个字符顶掉了"所有满足 $f(x)\in B_0$ 的 $x$ 组成的集合"这一整句中文，而且不会被不同的人读成不同的意思。代价是要背——但只背这一张表，够用一学期。

类比到这里要停一下：袋子没有大小、没有结构，而分析里的集合几乎都带着顺序和距离（$\R$ 上的 $<$ 与 $|\cdot|$）。所以"袋子"帮你想"属于""包含"，帮不上"接近"——接近要靠邻域那一层额外的结构。这也是为什么 0.5 里最该记住的不是 $\in$，是 $U(x_0,\delta)$。

把邻域代进数字验一遍：$U(1,0.1)=(0.9,1.1)$，整段长度是 $0.2$——$\delta$ 是半径，长度是 $2\delta$，这是最容易说反的一处。去心邻域 $\mathring U(1,0.1)$ 里则没有 $1$ 本身。

本节带走：去心邻域提醒你：极限与那一点取什么值无关。

0.6 这本讲义怎么用

预习的目标不是"提前学会"，而是带着问题进课堂。建议每次课前三十分钟，按三轮走：

书中的灰色"证明"块默认折叠，请务必先自己写。看别人写证明会产生"我懂了"的错觉，这种错觉在考场上会被无情击穿。

还有一个经验：同一段文字隔一天再读，常常突然通了。定义需要在脑子里发酵，当天硬想不出来的，睡一觉往往就顺——那不是玄学，是你第一次读时还没有可挂靠的旧经验。

本节带走：预习只做三件事：看地图、读定义、带着问题进课堂。

教材对应：第一章 实数集与函数 · §1 实数　§2 数集·确界原理　§3 函数概念　§4 具有某些特性的函数

这一章在故事里的位置。这本书后面每一次"存在"的断言，最后都要在一个实实在在的点上落脚：第 2 章的单调有界定理说那个极限存在，第 4 章的最值定理说最大值在某点取到，第 7 章把六条完备性命题串成一条等价链。它们之所以不是空话，全靠实数轴上没有洞。所以第一章不是礼节性的开场，它是在浇地基，而且这块地基后面会被反复踩。

麻烦在于，"没有洞"不属于四则运算。你把有理数加减乘除到任意精确，也查不出脚下有没有洞——这件事要到十九世纪才被说清楚。顺序是先改写"极限"的说法，再回头追问：这套说法要求数集具备什么性质？

整个数学分析建立在实数系上。实数和有理数的差别，表面上是"多了无理数"，实质上是数轴上没有洞。这句话不是修辞，它有精确定义，就是本章的确界原理。后面所有极限定理（单调有界必收敛、闭区间上连续函数有最大值、中值定理）最终都靠它撑着。

1.1 有理数的裂缝

先确认一个熟悉的事实：$\sqrt2$ 不是有理数。这个证明值得完整看一遍，因为它是"反证法 + 数论最小知识"的样板。

但这个证明只说明缺了一个数。真正让人不安的是缺的方式：拿刀在数轴上切一下，把 $\Q$ 分成左右两半，刀口处竟然空着。取 $$A=\{x\in\Q:x<0\ \text{或}\ x^2<2\},\qquad B=\{x\in\Q:x>0\ \text{且}\ x^2>2\}.$$ $A\cup B=\Q$，且 $A$ 里每个数都小于 $B$ 里每个数。可是 $A$ 没有最大元：任给 $a\in A$，$a$ 与 $\sqrt2$ 之间还有有理数，它仍在 $A$ 里。$B$ 也没有最小元，同样的理由。左边找不到"最后一个"，右边找不到"第一个"，中间那道缝谁也不认领。

把 $\Q$ 想成教室里按身高站好的一队同学：高于某条线的站右边，矮于的站左边。站完会发现左右分得很干净，可"正好站在线上"的人一个也没有——因为那条线本身不是班里的同学。$\Q$ 的处境正是这样：每道切口都分得清左右，切口处的位置却不属于 $\Q$。类比到此为止：教室里的线是墙上本来就有的，而数轴上的"切口位置"要先被证明它是个数、能参与运算，这正是完备性要干的事。

但仅仅"补上无理数"并不够。看这个数列：

$$x_1=1.4,\quad x_2=1.41,\quad x_3=1.414,\quad x_4=1.4142,\ \dots$$

它是 $\sqrt2$ 的十进制截断。在有理数的世界里，它单调递增，且有上界（比如 $1.5$），可是它没有有理数极限——它"想收敛到"的那个点，在 $\Q$ 里是一个洞。

"补上无理数"为什么还不等于"补上洞"？因为缺的从来不是某一个数。把 $\sqrt2$ 硬塞进 $\Q$，$\sqrt3$ 那道缝还在，$\pi$、$e$ 也各有各的缝，而缝多到不可数。指望"缺哪个补哪个"，等于逐个数点名，永远点不完。确界原理换了个打法：不说缺了谁，只保证非空有上界的集合必有上确界。这一条一立，所有"该有着落"的集合自动有着落，一个都不必点名。

具体走一遍。令 $S=\{x\in\Q:x^2<2\}$。$2$ 是上界，所以 $S$ 有上界。在 $\Q$ 里它没有上确界：任取有理上界 $M$，由稠密性都能找到有理数 $M'$ 使 $\sqrt2<M'<M$，$M'$ 仍是上界、还更小。换到 $\R$ 里，$\sup S=\sqrt2$ 就在位了。用 $\eps$ 语言核对：取 $\eps=0.001$，要在 $S$ 里抓一个 $x>\sqrt2-0.001\approx1.41321$；取 $x=1.414$ 就合格——$1.414^2=1.999396<2$，且 $1.414>1.41321$。$\eps$ 再小就换 $1.4142$、$1.41421$，一位一位往下加，总能抓到。

本节带走：有理数有洞、实数没有——这是后面敢“取极限”的底气。

1.2 上确界：用一个数概括一整片

想想"$\{1-\frac1n\}$ 越来越接近 $1$，但永远达不到 $1$"这类情形。我们需要一个概念，能精确描述"最紧的上方边界"。

先说难用在哪儿。"对 $S$ 的任意上界 $M$"要求你遍历一个你从没见过的集合——上界的全体通常不可数，也没有参数化，没法逐个检查。而你手里只有 $S$ 的成员，上界只能靠猜。这个定义把主动权交给了看不见的那一方。

$\eps$ 版本把谈判方向掉了个头：$\beta$ 既然自称最紧，那就往下挪 $\eps$ 试一试。还够得着 $S$ 里的点，说明没挪到底；一个也够不着，说明确实到底了。$\forall M$ 于是变成 $\forall\eps>0$，而 $\eps$ 是你亲手挑的数、$x$ 是你要抓出来的点，每一步都能落成具体计算。

定义里的"对任意上界 $M$ 都有 $\beta\le M$"用起来很别扭。做题时请改用下面这个等价刻画，它是你真正会用的那一句：

上确界就是「压不下去的那条天花板」。它本身不一定是集合里的点（比如 1 就不在 $\{1-\frac1n\}$ 里），但它是所有上界里最低的那个。找它只要两步：先证明头顶上有天花板（有上界），再证明没法再往下压。

判定顺序固定为四步：猜数 → 证是上界 → 证最紧 → 单独回答"取到没有"。最后一问和前三步互不影响，不要混着写。$S_2$ 说明 $\sup$ 完全可以是最大值；$S_1$ 说明它也可能永远取不到；$S_3$ 说明它甚至可以不是有理数。三种情况的共同点是：$\sup$ 描述天花板的位置，$\max$ 描述谁站在天花板上——位置未必有人站，站没站人要另查。第四种情形里 $+\infty$ 只是记号，不是实数，不能拿来运算。

这条原理不能由四则运算推出来，它是实数系的一条公理性质：它区分了 $\R$ 和 $\Q$。$\{x\in\Q:x^2<2\}$ 在 $\Q$ 中有上界（如 $2$），但在 $\Q$ 中没有上确界。整本书后面反复出现的"存在性"论证，源头都是它。

两个前提都不能省。$S=\emptyset$ 时，空集里没有元素，"$\forall x\in S$"对任何 $M$ 都真空成立，于是所有实数都是上界，上界全体没有最小元，$\sup$ 无从谈起；$S=\N^*$ 时没有上界，硬要给个上确界就只能记作 $+\infty$。反过来，非空、有上界这两个条件一齐，结论就无条件成立——这条"无条件"正是它成为全书地基的原因。

接口长什么样，可以先看一眼。第 2 章的单调有界定理：把递增有界数列的项收集成集合 $S$，确界原理给出 $\beta=\sup S$，再证 $a_n\to\beta$。第 4 章的最值定理：连续函数在闭区间上的值域有上界，取其上确界，再证这个值被某点取到。第 7 章的六条等价命题，头一条就是它。套路一模一样：先让确界原理造出一个候选点，再证明这个候选点正是要找的东西。

由确界原理长出来的两条常备结论

它最常用的形式是：对任意 $\eps>0$，存在 $n$ 使 $\frac1n<\eps$。几乎每个 $\eps$-论证的开头都在用它"取一个足够小的 $\frac1n$"。

本节带走：证 $\sup S=\beta$ 分两步：先说是上界，再对任意 $\eps$ 抓一个点。

1.3 不等式工具箱

分析里"证不等式"和"做估计"是同一件事。下面几条要熟到不用想，正文明天就要用。

三角不等式管"拆"和"合"。几何版就是"两点之间直线最短"：从原点出发先走 $a$ 再走 $b$，净位移 $|a+b|$ 超不过两段路程之和 $|a|+|b|$。等号成立当且仅当 $a,b$ 同号（或其中一个为零）。取 $a=3$、$b=-5$：左边 $|3-5|=2$，右边 $3+5=8$，中间空得很；正因为松，它几乎不会失效，可以放心拿来兜底。什么时候想到它？只要你想把 $|A+B|$ 拆成两块分别估计，或者需要在式子里"加一项再减一项"插进中间点——$|a_n-a|\le|a_n-c|+|c-a|$，第一反应就该是它。

反向版本 $\big||a|-|b|\big|\le|a-b|$ 用在另一头：从"两个数离得近"推出"它们的绝对值也离得近"。别的工具多半只肯给上界，它却常被用来给下界：$|a_n|\ge|a|-|a_n-a|$，只要后面那项足够小，就能把 $|a_n|$ 顶在 $|a|/2$ 之上。证明"分母不趋于零"时，靠的就是这一手。

Bernoulli 管"幂"。$(1+x)^n\ge1+nx$ 的来历可以分两半看：$x\ge0$ 时把二项式展开，除 $1$ 与 $nx$ 外剩下的项全都非负，只会把右边抬得更高；$-1<x<0$ 时高次项符号交替，得改用归纳——每步乘上正数 $1+x$，不等号方向不变。取 $n=10$、$x=0.01$：右边 $=1.1$，左边 $(1.01)^{10}=1.104622\ldots$，只差 $0.0046$，不到半个百分点——$x$ 很小时不等式几乎是等式。换成 $n=10$、$x=0.5$：右边 $=6$，左边 $1.5^{10}=57.665\ldots$，差了一个数量级，可见它松起来也很松。什么时候想到它？看到 $(1+\frac1n)^n$、$\sqrt[n]{a}$、$(1+x)^n$ 这类幂，又只需要一个单边估计，就用它把高次幂换成一次式。

均值不等式管"积与和的互换"。它有一个不用写字的证明：画一个直径为 $a+b$ 的半圆，把直径分成 $a$ 和 $b$ 两段，分点处作垂线交圆于一点。由射影定理，垂线长是 $\sqrt{ab}$；而半径是 $\frac{a+b}{2}$。垂线不会比半径长，不等式成立；等号当且仅当垂足正好落在圆心，即 $a=b$。取 $a=2$、$b=8$：$\sqrt{16}=4$，$\frac{2+8}{2}=5$，$4\le5$。什么时候想到它？看到"和"想求"积"的最大（周长固定、面积最大），或看到"积"想给"和"一个下界（$x+\frac1x\ge2$，$x>0$），就该想到它。

本节带走：放大法只能把式子变大；方向反了，逻辑就断了。

1.4 函数：就是带名字的映射

定义里真正干活的只有"唯一确定"四个字：$x=4$ 时"$y=\pm\sqrt{x}$"不知道该给 $2$ 还是 $-2$，所以它不是函数；"$y$ 是 $x$ 的平方根"这句话也是同一个毛病。还有一点常被忽略——定义域是定义的一部分，不是解析式的"天然范围"。$f(x)=x^2\ (x\in\R)$ 与 $g(x)=x^2\ (x\in[0,1])$ 是两个不同的函数：值域不同、单调性不同、有没有反函数也不同。

放宽不是趣味问题，是必须。函数一旦限定为解析式，很多该问的问题就没法问：分段函数（电费、税率、邮资）算不算函数？三角级数收敛到的那个"和"又是什么？更要紧的是，后面的连续、可导、可积都要靠反例来划边界，而反例往往正是那些没有解析式的怪函数。Dirichlet 函数就是第一个：它在任何一点都不连续、在任何区间上都不可积，却完全符合上面这个定义。先把这个口子放开，才轮得到第 4 章去追问"连续到底要求多严"。

四个基本性质，请把定义写成量词式，别背中文：

"有界"是分析里最常出现的性质。注意它是一个存在性命题：只要找得到一个 $M$ 就行，$M$ 不必是最小的。这一点在证明中很关键——你不需要知道界到底是多少。

三个词可以挂在人身上看。单射：一个学号只发给一个学生，一个学生也只拿到一个学号，两边都不重复，才能互相查；若两个学生同名，"姓名 → 学生"就不是单射，拿着"张伟"这个名字查不出是谁。满射：车库里每个车位都停了车，"车位 → 车"才覆盖了全部车；空着一半车位就不是满射。双射：既不重复也不遗漏，这时整个箭头才能倒过来读，倒过来读就是反函数。类比到此为止：单射其实已经够定义反函数了，定理之所以改口要求严格单调，是因为单调这张通行证更省事——它顺手把"反函数也单调"一并送来（若再要求 $f$ 连续，还能把"反函数连续"一并送来；这条不在本册主线，先当结论用），而单射本身对"反函数长什么样"一言不发。

本节带走：有界是“存在”，不必知道界具体是多少。

1.5 初等函数：先会用，后面再严格化

先讲清"重新定义"为什么躲不掉。高中定义 $\sin$ 用的是直角三角形：对边比斜边。这个定义有三处说不出口：只对锐角有效；"角"的大小要先与实数对上号（弧度制）；而 $\sin$ 的可导性、$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ 这些结论，一条都推不出来，全靠看图。分析却把宝全押在这些性质上——第 3 章的第一个重要极限、第 5 章的 $(\sin x)'=\cos x$，都要用它们。所以必须先有一条不依赖图形的定义。

两条成熟的路子。一是幂级数：把 $\sin x$ 直接定义成 $\sum_{k\ge0}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$，可导、有界、周期全由级数性质推出来——这条要等级数章。二是先定义 $\arcsin x=\int_0^x\frac{\dd t}{\sqrt{1-t^2}}$，再把 $\sin$ 当作它的反函数——这条要等学完定积分。两条路都绕开了"角"，代价是要等。这本上册的做法是：先借用，用到哪一步都交代清楚，等工具齐了再还。

这张表可以当账本用：每借一笔，心里记下还没还；只要记得哪一步是借的，用起来就不心虚。欠账不可怕，不知道自己欠了才可怕。

本节带走：高中借来的结论可以用，但要记得哪一步是借的。

教材对应：第二章 数列极限 · §1 数列极限的概念　§2 收敛数列的性质　§3 数列极限存在的条件

上一章做了两件事：把实数补齐（确界原理），把"任意小"的说法交给 $\eps$ 去负责。这一章正式开始用它——极限是全书唯一允许"做无穷多步再问结果"的操作，后面每个概念都是它换了场合：连续是"函数值等于极限"，导数是"差商的极限"，定积分是"一列和式的极限"。这一章没读透，后面每一章都会跟着虚。

也正因为它是第一次允许无穷步，直觉在这里第一次不可靠。中学的数学每一步都有限、算完就结束；现在要问"无穷多步之后停在哪里"，就必须先把话说死：什么叫"无限接近"，要写成一条可以逐项核对的不等式。这就是 $\eps$-$N$ 定义的全部来由。

这是全书的第一个硬骨头，也是最重要的一章。后面函数极限、连续、导数、积分，全是它的变体。请把这一章的每个证明都亲手写一遍——不是"看懂"，是"默写"。

2.1 定义：把"无限接近"写成不等式

"无限接近"这四个字，日常够用，当定义用却有三处含糊。

谁在接近谁？该变小的是距离 $|a_n-a|$，不是 $a_n$ 本身。$a_n=100+\frac1n$ 一直在往 $100$ 走，它既不接近 $0$ 也不接近 $1$。

"无限次接近"不等于"最终待在附近"。看数列 $1,2,1,4,1,6,1,8,\dots$（奇数项全是 $1$，偶数项取 $n$）。它无限多次回到 $1$ 旁边，你却绝不会说它收敛到 $1$——它同时还在往无穷远跑。日常说法完全可以被读成"无限多次接近"，而收敛要的是从某项起再也出不去。

没有人负责。"接近"是旁观者事后看到的现象，"对任意精度都能保证"是证明者事先签下的担保。数学要的是后者：一句能拿来核对、也能被推翻的话。

所谓"$a_n$ 收敛到 $a$"，就是一句承诺：你说要多近，我就能保证从某一项起，以后每一项都在这么近之内。ε 是你要的精度，N 是我给你的起点。精度越苛刻，起点越靠后——这是全部代价。

把定义读成一场对局，量词顺序就再也不会记错。对手负责刁难：他随手报一个 $\eps>0$，可以是 $10^{-6}$，也可以是 $10^{-100}$。你负责应战：给出起点 $N$，保证第 $N$ 项之后整条尾巴落进 $(a-\eps,a+\eps)$。定义说的是：无论对手怎么出招，你都有应手——所以 $\eps$ 在前、$N$ 在后，对手先出，你后应。若把顺序写成"存在 $N$，对任意 $\eps$"，等于你先摊牌，对手照着你的 $N$ 报一个更小的 $\eps$，你必输。

把 $N$ 真算一次，比读十遍定义有用。取 $a_n=\frac{1}{\sqrt n}$，要 $\frac{1}{\sqrt n}<\eps$，即 $n>\frac{1}{\eps^2}$，于是每个 $\eps$ 都对应一个具体的 $N$：

精度每提高一个数量级，起点就要往后挪两个数量级——这就是"无限接近"的价码。但每一行都真有一个有限的 $N$，所以极限成立；这与"$\eps$ 越小 $N$ 越大、大到没有尽头"并不矛盾：定义只要求每个 $\eps$ 配一个 $N$，并不要求 $N$ 有上界。

再看带符号的 $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$。此时 $|a_n-0|=\frac1n$，绝对值把符号吃掉了，算 $N$ 的过程与 $\frac1n$ 一模一样。可见振荡本身不是问题，振幅才是问题：只要振幅被 $\frac1n$ 压住，符号怎么跳都不影响极限。

本节带走：$\eps$ 是对方给的精度，$N$ 是你的回应：可以依赖 $\eps$，不能依赖 $n$。

2.2 收敛数列的四条性质

四条性质各自回答一个担心：极限值会不会不止一个？收敛的数列会不会跑丢？极限的符号到了近处还作数吗？能不能像普通数那样加减乘除？每一条都在防一种"定义看着对、用起来塌"的可能。

唯一性防的是"极限值不止一个"。若一个数列既收敛到 $2$ 又收敛到 $3$，"$a_n$ 的极限"就不再是一个数，后面所有"两边取极限"的等式都失去意义。证明只做一个动作：把两个候选值的窗口取小到互不重叠——取 $\eps=\frac{b-a}{2}$，$a$ 的 $\eps$-邻域与 $b$ 的 $\eps$-邻域就隔开了；而 $n$ 充分大时 $a_n$ 必须同时待在两个窗口里，一个点不可能同时在两个不相交的开区间中。这是分析里最常用的招式：不去算 $a_n$ 离谁近，而是让"同时满足两个定义"在几何上不可能。

逆命题不成立：$a_n=(-1)^n$ 有界但发散。所以"有界"是收敛的必要不充分条件，常用来快速判定发散。

"有界"是没跑丢，"收敛"是有一个确定的去处。没跑丢不等于有去处：$(-1)^n$ 一直待在 $\{-1,1\}$ 里，却没有落点。所以它只能当筛查用：无界必定发散（逆否命题），有界则什么也推不出。看到 $a_n=2^n$、$a_n=(-2)^n$ 这类明显无界的，一句"无界故发散"就结束。这是一条否决权，不是通行证——全书不少判据都是这个性格：必要性人人能用，充分性才是真定理。

保号性防的是"极限的符号到了近处就失守"。极限是 $1$，则从某项起 $a_n$ 至少是 $0.5$；极限是 $0.001$，则从某项起至少是 $0.0005$。牺牲一半，换一块不含 $0$ 的安全区——这就是证明里取 $\eps=\frac a2$ 而不是 $\eps=a$ 的原因：取 $a$ 只能得到 $a_n>0$，边界仍贴着 $0$；取一半留出 $\frac a2$ 的余量，后面做除法时"分母不靠近 $0$"才有保证。

四则运算的难点在乘法：$|a_nb_n-ab|$ 里既有 $|a_n-a|$ 又有 $|b_n-b|$，还多出一个会变的系数 $|b_n|$。解法是先把系数换成常数——收敛必有界，$|b_n|\le M$，于是 $|a_nb_n-ab|\le M|a_n-a|+|a|\,|b_n-b|$，再让两项各小于 $\frac\eps2$。先控系数，再控误差，这两步全书通用。商法则多一步：分母可能趋于 $0$，先用保号性保证 $|b_n|>\frac{|b|}{2}$。

用起来是这样：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+2n}{n^2-1}$。上下同除 $n^2$，得 $\dfrac{3+2/n}{1-1/n^2}$；由 $\frac1n\to0$、$\frac1{n^2}\to0$ 及四则运算，极限为 $\dfrac{3+0}{1-0}=3$。前提是每个小块都收敛、分母极限 $1\ne0$——这两条每次都要过一遍。

本节带走：收敛必有界，有界未必收敛；严格不等号取极限会退化。

2.3 夹逼准则：从两边挤

名字很形象：两条已知数列像一双筷子，把待求的那条夹在中间。左边的被压向 $L$，右边的也被压向 $L$，中间那条没有别的去处——想跑到 $L$ 外面，就得先穿过其中一条筷子，而两条筷子都已经进了 $L$ 的窗口。所以夹逼不要求知道 $c_n$ 长什么样，只要求知道它夹在谁中间。

再看一个不用二项式的例子。$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$，有理化得 $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$，分母介于 $2\sqrt n$ 与 $2\sqrt{n+1}$ 之间，于是

$$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}<a_n<\frac{1}{2\sqrt n}.$$

两端都趋于 $0$，故 $a_n\to0$。代 $n=100$ 看数值：$a_{100}=\sqrt{101}-10\approx0.04988$，两端给出 $0.04975<a_{100}<0.05$，夹住的区间宽度只有 $0.00025$——这就是夹逼在数值上的样子。

本节带走：夹逼：两端同极限，中间没有别的去处。

2.4 存在性：不用先知道极限是多少

上面所有定理都需要先猜出 $a$。但很多数列的极限根本写不出（比如 $e$）。这时需要"存在性定理"。

"不用先知道极限是多少"比听起来重要。分析里绝大多数极限值写不出闭式：$\lim(1+\frac1n)^n$ 只能记成 $e$，$\sum\frac{1}{n^2}$ 的值要更晚才知道。若每讨论一个极限都得先报出它的值，这套语言几乎没法用。

存在性定理解决的正是这个分工：先证明"有个数在那里"，再给它起名字，最后才慢慢算。这与"先看见再相信"的日常顺序相反，也让新生最不适应。后面判断级数、反常积分收敛，用的都是同一套路。

单调有界定理的直觉：只会往上走、头上又有天花板，那就只能越走越慢，最后贴在天花板下面某个位置。"单调"是关键——不单调的数列能在有界范围里永远来回晃，例如 $(-1)^n$。而"最后贴住的位置"是哪个数？证明没说，也说不出来，它就是 $\sup\{a_n\}$。第一章的确界原理在这里登场：它不告诉你极限怎么算，只保证那个位置作为实数确实存在。若把实数换成有理数，$\sup$ 可能落在"洞"里，定理立刻崩掉——这就是第二章必须建在第一章之上的原因。

$e$ 不是算出来的，是证明存在之后命名的：先证 $(1+\frac1n)^n$ 递增有上界，于是极限存在，再把这个极限叫 $e$。算几个值就有感觉：$a_1=2$，$a_2=2.25$，$a_3\approx2.370$，$a_{10}\approx2.594$，$a_{100}\approx2.705$，一路爬向 $2.71828\ldots$，永远爬不到 $3$——定理里的上界 $3$ 就是这么来的。

它还有个来自钱袋子的解释：年利率 $100\%$ 分 $n$ 次复利，一元年底变成 $(1+\frac1n)^n$。一年结一次得 $2$，每月结一次得 $2.613$，每天结一次得 $2.7146$，连续复利就是 $e\approx2.71828$。分得越细，增长越慢地逼近一个上限——这就是"单调递增且有上界"在现实里的样子。顺带记住 $2\le a_n<3$：$e$ 不是有理数（无理性要到级数章再证）。

把两个定义并排看：收敛定义里有一个 $a$，Cauchy 条件里没有 $a$。它换了个问法——不问"离目标还有多远"，只问"自己人之间挤得紧不紧"。$|a_m-a_n|<\eps$ 要求的是尾巴整体的直径小：任取尾巴里的两项，互相都靠得近。好处是可以真的动手验：不必先猜出极限，只比较数列自己的项。

本节带走：存在性定理让你不必先知道极限值：有界 + 单调就够了。

2.5 子列：证明发散的最快方式

子列是从原数列里挑出无穷多项、保持原来的先后顺序排成的新数列，比如只取偶数项。它和原数列共享同一条尾巴，所以原数列收敛，子列必然收敛到同一个值。

反过来用就是判发散的利器：只要找到两条子列落在不同地方，原数列就发散。因为若原数列收敛于 $A$，那么它的每一条子列都得收敛于 $A$，不可能一条去 $1$、一条去 $-1$。这比用定义硬证"不存在 $A$"省力得多：不必对每个候选 $A$ 逐一排除。"保持顺序"和"无穷多项"两个条件不能丢：只挑有限项得到的是有限数列，谈不上极限；打乱顺序则可能改变结果——$1,-1,\frac12,-\frac12,\dots$ 收敛于 $0$，把正项全排前面、负项全排后面就不再收敛。

顺带一提：有界数列必有收敛子列（Bolzano–Weierstrass 定理），这条在第七章会用有限覆盖定理证明。它说明"有界"虽然不足以保证收敛，但至少保证"某一部分收敛"。

这条定理与 2.2 的有界性正好配成一对：收敛 $\Rightarrow$ 有界，但有界未必收敛；把结论削弱成"有收敛子列"，逆命题就成立了。"有界"管不住整条数列，却管得住某一条子列——这是"紧性"的第一印象，第七章学有限覆盖时会再见。

合起来就是一套工作流程：拿到数列，先看有没有界。无界，直接判发散；有界，再去找子列——找到一条不算数，要两条极限不同的才能判发散；若所有子列都被迫收敛到同一个值，那原数列就收敛（这条在后续课程里反复出现）。

本节带走：找两个子列不同极限，比正面证明发散省力得多。

教材对应：第三章 函数极限 · §1 概念　§2 性质　§3 存在的条件　§4 两个重要极限　§5 无穷小量与无穷大量

上一章只处理了一种极限：$n\to\infty$，方向单一、步子离散。微积分真正要用的却不是这种形状——研究 $f$ 在 $x_0$ 附近的行为，是让 $x$ 沿连续统靠近 $x_0$：可以从左边来、从右边来，可以忽左忽右，也可以停在离 $x_0$ 任意近却永不到达的地方。多出来的那个 $\delta$，就是为了把"各种靠近方式"一网打尽。

这一章是后面的原材料车间：下一章的连续，定义就是 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$；再往后的导数，是差商的极限；定积分，是一列和式的极限。它们都是本章这两个定义的换皮。这里多花的力气，后面会成倍省回来。

数列极限只研究"$n\to\infty$"，而函数要研究"$x$ 从各个方向逼近 $x_0$"。定义只多了一个 $\delta$，但细节上多了几个坑。

3.1 定义：$\eps$-$\delta$ 语言

ε 是"输出允许的偏差"，δ 是"输入要靠近到什么程度"。能对每个 ε 都找到一个 δ，就说明输出真的跟着输入走；只要有一个 ε 找不到 δ，极限就不存在。

"与 $f(x_0)$ 无关"不是附加说明，而是 $0<|x-x_0|$ 直接推出来的：这个不等式把 $x=x_0$ 排除在外，$f(x_0)$ 压根没被查询。看两个函数：

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\ (x\ne1),\qquad g(x)=\begin{cases}x+1,&x\ne1,\\ 100,&x=1.\end{cases}$$

$f$ 在 $x=1$ 处没定义，$g$ 在 $x=1$ 处取了个荒唐的 $100$，可两者的极限都存在且都等于 $2$：在去心邻域内 $f(x)=g(x)=x+1$，完全相同，而定义只看去心邻域。极限说的是"靠近时发生什么"，不是"到达时发生什么"。用 $\eps$-$\delta$ 对 $g$ 走一遍：取 $\eps=0.01$，要 $|g(x)-2|<0.01$，$x\ne1$ 时这就是 $|x-1|<0.01$，于是取 $\delta=0.01$ 即可。$g(1)=100$ 离 $2$ 有 $98$ 之远，却被 $0<|x-1|$ 挡在门外，完全不影响极限。

本节带走：$\delta$ 是 $\eps$ 的函数；极限与 $f(x_0)$ 的取值无关。

3.2 Heine 定理：把函数问题变成数列问题

$\eps$-$\delta$ 证明每步都要造 $\delta$，很费手；第二章却已攒下一整套现成结论。Heine 定理的作用是修一条翻译通道：把关于 $x$ 的命题换成关于 $n$ 的命题，于是唯一性、保号性、四则运算、夹逼都能直接搬来。

为什么能这样翻译？因为"$x\to x_0$"的全部内容就是：不管 $x$ 以什么方式靠近，只要够近，$f(x)$ 就够近。而"以什么方式"可以被一串数列完整采样——任取一列 $x_n\to x_0$（$x_n\ne x_0$），就是一条具体的靠近路线。函数极限说"所有路线都通向 $A$"，Heine 说"沿任何一条路线都通向 $A$"，这两句话其实是同一句。

用途分两头：证不存在只需给出两条路线、两个落点，比 $\eps$-$\delta$ 反证省力；用性质则把它当翻译机。唯一搬不过去的是"一致性"：若结论里出现"对所有的 $x$ 用同一个 $\delta$"，逐点翻译就失效了——那正是一致连续要处理的事。

Heine 定理的价值在于：数列极限的所有性质（唯一性、保号性、四则运算、夹逼）可以整包搬过来，不必重新用 $\eps$-$\delta$ 证一遍。

再给一个"处处失效"的例子。Dirichlet 函数

$$D(x)=\begin{cases}1,&x\in\Q,\\ 0,&x\notin\Q\end{cases}$$

在任何 $x_0$ 处极限都不存在：有理数与无理数在任何区间里都稠密，故可取有理数列 $p_n\to x_0$（$D(p_n)\equiv1$）与无理性列 $q_n\to x_0$（$D(q_n)\equiv0$），两条路线落点不同。这个例子说明"极限存在"有多强：它要的不是"某条路线走得通"，而是所有路线殊途同归。

本节带走：Heine 把函数极限翻译成数列极限，第二章的定理整包搬来。

3.3 两个重要极限

第一个极限的几何来源是一张面积三明治。单位圆里圆心角 $x$（弧度，$0<x<\frac\pi2$）对应三角形、扇形、大三角形，面积依次是 $\frac12\sin x$、$\frac12x$、$\frac12\tan x$，一层套一层，于是 $\sin x<x<\tan x$，即 $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$。两边同趋于 $1$，中间那个没有别的去处。这里的 $x$ 必须是弧度：换成角度，扇形面积不再是 $\frac x2$，那个 $1$ 就变成 $\frac{\pi}{180}$。弧度制不是记号偏好，它是这个极限等于 $1$ 的唯一理由。

导言里拿"用洛必达法则证 $\frac{\sin x}{x}\to1$"当循环论证的样板，坑就挖在这里。这个证明里藏了两处循环依赖。其一，扇形面积 $\frac12x$ 用了弧长 $x$，而弧长要用积分或极限定义，此刻还没有；其二，末尾用 $\cos x\to1$，这需要 $\cos$ 的连续性，而连续性又用极限定义。也就是说：用几何直观证 $\frac{\sin x}{x}\to1$，再用它去建立 $\sin$ 的连续性与求导公式，是一条循环路。严格的顺序正好相反：先用幂级数定义 $\sin,\cos$，由逐项估计得到 $\frac{\sin x}{x}\to1$，再证明几何定义与级数定义一致。本章先按几何走，是为了让人看见图形；逻辑上的欠账，到期数章才还。

第二个极限是把 2.4 的数列版抬到实数。思路是夹：设 $x\ge1$，$n=[x]$，则 $n\le x<n+1$，$\frac{1}{n+1}<\frac1x\le\frac1n$，底数与指数同时被夹住，得

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<\left(1+\frac1x\right)^{x}<\left(1+\frac1n\right)^{n+1}.$$

左边 $=a_{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}\to e$，右边 $=a_n\cdot\left(1+\frac1n\right)\to e$，由夹逼即得（$x\to-\infty$ 时令 $y=-x$ 化归，$(1-\frac1y)^{-y}\to e$）。所以它不是新结论，是把数列结论用夹逼抬到实数上的结果——先离散，再夹逼，最后连续，本章反复出现这个套路。顺便破除一个错觉：$(1+\frac1x)^x$ 看着像 $1^\infty$，取 $x=1000$ 得 $2.7169$——底数只比 $1$ 大一点点，指数把它放大回来。$1^\infty$ 是未定式，不能直接当 $1$。

本节带走：两个重要极限要背，但要知道它们各自依赖什么前提。

3.4 无穷小、阶与等价替换

阶就是"谁跑得快"。取 $x=0.01$：$x^2=0.0001$，$x^3=0.000001$——同样往 $0$ 跑，$x^3$ 比 $x$ 快得多。所以 $x^2=o(x)$ 说的是"$x^2$ 相对 $x$ 可以忽略"，而 $\ln(1+x)\sim x$ 说的是"同速，差别排在下一阶"。同阶只比速度的倍率，等价还要求倍率恰好是 $1$。类比到此为止：速度比较只在两者都趋于 $0$ 时有意义，若 $\beta$ 不趋于 $0$，比值的行为就与"谁快"无关。

等价替换只能在乘除里用，是因为 $\alpha\sim\alpha'$ 给出的信息是相对误差趋于零：可写成 $\alpha=\alpha'(1+o(1))$。除法里两个相对误差相乘相除仍是小量；加法里两个几乎一样大的量相减，$o(1)$ 会被放大成主角，而它恰恰是被丢掉的部分。一句话：乘除看相对误差，加减看绝对误差，等价无穷小只保证前者。

最有名的错例是 $\sin x-x$。用 $\sin x\sim x$ 得 $0$，可真实值不是 $0$：由 Taylor 展开（第 6 章才讲，这里先借用结论）$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，故 $\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim-\frac{x^3}{6}$。代 $x=0.1$ 验：$\sin0.1-0.1\approx-1.6658\times10^{-4}$，而 $-\frac{0.1^3}{6}\approx-1.6667\times10^{-4}$，量级与系数都对上了。那个"等于 $0$"的答案，错在把真正的主角当成误差扔了。

本节带走：等价替换只对乘除因子有效，加减要提主部。

教材对应：第四章 函数的连续性 · §1 连续性概念　§2 连续函数的性质　§3 初等函数的连续性

上一章把“极限”磨成了工具，这一章第一次把它装回函数身上：连续，就是极限值恰好等于函数值，除此之外不多加一个字。后面所有的性质——有界、最值、介值、一致连续——都是从这个等式里榨出来的，没有一条需要新假设。

但这一章的转折不在定义，在反例。高中给你的函数图像都是“一笔画得下来”的，那是粉笔的物理限制，不是数学的限制。十九世纪的数学家花了很久才承认：直觉上“不断”的东西可以处处病态；反过来，只要补上“闭区间”三个字，连续函数就能长出三条极强的大定理。所以本章真正的问题不是“连续是什么”，而是“哪个条件在承重”。

给下一章留的口子：导数要算“差商的极限”，而差商本身是函数，所以得先明白连续性怎么运作。下一章的第一个定理“可导必连续”，就是把本章定义代进去算一行。

连续是"极限"和"函数值"终于握手的地方。本章的高潮是三个定理——它们看起来"显然"，但去掉"闭区间"或"连续"任何一个条件都会立刻失效。这一章的考点几乎全在反例上。

4.1 连续与间断点

注意定义里没有出现“图形”两个字。它只说了一件事：你想要多小的误差 $\eps$，我就能找出一个半径 $\delta$，让 $x_0$ 附近这么近的所有点，函数值都落进 $f(x_0)$ 的 $\eps$-邻域。具体点：$f(x)=x^2$ 在 $x_0=1$，若要误差不超过 $\eps=0.01$，取 $\delta=0.004$ 就够——$1.004^2=1.008016$，差 $0.008<0.01$；另一侧 $0.996^2=0.992016$，差也是 $0.008$。整个定义就是一份“你报精度、我报半径”的承诺。

等价地说，连续就是"增量趋于零"：$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0$，其中 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。

“一笔画不断”这个高中直觉，毛病在于它把“连续”当成了图形的性质。图是画出来的，画一遍只走有限步，笔尖当然画不出无穷多次振荡；连续却是逐点的极限等式，跟能不能画完没有关系。下面三个例子依次把这条直觉拆掉。

Dirichlet 函数：$D(x)=1$（$x$ 为有理数）、$D(x)=0$（$x$ 为无理数）。它在每一点都不连续——任何邻域里都既有有理数又有无理数，函数值在 $0$ 和 $1$ 之间跳，极限根本不存在。这说明连续必须逐点检验，而检验点可以密到无法回避。

$\sin\frac1x$ 在 $x=0$：每一段曲线都光滑得挑不出毛病，可越靠近 $0$ 振荡越快，$f$ 在 $0$ 的任何邻域里都取遍 $[-1,1]$，所以极限不存在。要注意它的问题不是“画不完”：$f(x)=x\sin\frac1x$（补 $f(0)=0$）的图像同样画不完，却在 $0$ 处连续，因为振幅被 $x$ 压住了。决定连续性的是振幅，不是振荡次数。

Weierstrass 函数把病态推向另一个方向：它处处连续，却处处不可导，图像处处是“尖”，没有一小段有切线。这说明“连续”这个条件弱得超乎直觉——所以关于连续函数的定理必须靠条件（闭、有界、连续）来补，不能靠图像。

本节带走：连续 = 极限值等于函数值；间断点按左右极限分四类。

4.2 局部性质

这两条合成一句承诺：只要 $f$ 在 $x_0$ 这一点连着，那么在 $x_0$ 附近一小段里，函数值既不会飞出去（有界），也不会突然翻脸变号（保号）。代价是这一段的半径 $\delta$ 由 $f$ 和 $x_0$ 共同决定，可能小得可怜。数字版：$f(x)=\frac1x$ 在 $x_0=2$，取 $\delta=1$，则对一切 $x\in(1,3)$ 有 $|f(x)|<1$——$M=1$ 就是这一段能给的界。

为什么只能是局部的？还看 $f(x)=\frac1x$ 在 $x_0=2$：半径取 $1$ 时有界，一放大到 $(0,2)$ 就吃到 $x\to0^+$，界立刻消失。保号性同理：$f(x)=x$ 在 $x_0=1$ 附近恒正（取 $\delta=\frac12$ 有 $f>\frac12$），可在整条 $\R$ 上它当然变号。“局部”两个字不是谦虚，是准确的边界。

本节带走：“局部有界”“局部保号”都别丢掉“局部”二字。

4.3 闭区间上连续函数的三大定理

有界性是整章的地基：没有它，$\sup f$ 可能等于 $+\infty$，“取到最大值”就无从谈起。

最值定理说的不是“有上界”，而是“上界被某一点真的取到”。这两件事差得很远：$(0,1)$ 上 $f(x)=x$ 的上确界是 $1$，却没有哪一点的函数值等于 $1$；换成 $[0,1]$ 就取到了（$x=1$）。定理的实质是上确界可达，而可达性来自两处：闭区间把端点收了进来，连续把极限值钉在了函数值上。

介值定理的条件审计有点特别：它真正吃的是连续，闭区间只是为了让 $f(a)$、$f(b)$ 这两个端点值有意义。事实上连续函数把区间映成区间，在 $(0,1)$ 上连续也一样取遍中间值。所以三条定理里，“闭”对它承重最少——有界与最值没它立刻崩，而它只要有连续就成立。

二分法的数字长相。用介值定理解 $x=\cos x$：$f(x)=x-\cos x$ 在 $[0,\frac\pi2]$ 上连续，$f(0)=-1$，$f(\frac\pi2)\approx+0.5708$，两端异号，所以根落在 $(0,\frac\pi2)$ 内。

三步之后区间长度是 $0.1964=\frac{\pi/2}{8}$，每走一步误差减半。真根约 $0.7391$，此时稳稳落在区间内。这就是“存在性证明顺手给出算法”的样子：定理没说根在哪，可证明过程本身就是一张找根的流程图。

三条定理在后面哪里被用，值得现在就记一笔。第六章：Rolle 定理直接调用最值定理（闭区间上连续 ⇒ 取到最值，再在内部极值点用 Fermat 引理），整条“桥梁”都架在这上面。第九章：证明“闭区间上连续函数可积”走的是“连续 ⇒ 一致连续（Cantor）⇒ 振幅可控”这条线，而“可积必有界”回顾的正是有界性定理。第七章：Cantor 定理的证明要用有限覆盖。换句话说，本章这几条结论是后面所有“存在性”证明的提款机。

本节带走：三条定理都从“连续”榨出来；但“闭区间”在有界、最值两条上是硬条件，对介值只是让端点值有意义。

4.4 一致连续：整个区间用同一个 $\delta$

连续是"每一点有它自己的 δ"；一致连续是"整个区间共用一个 δ"。前者允许你在陡的地方把 δ 调小，后者不许——所以在 $(0,1)$ 上 $1/x$ 连续，却做不到"一个 δ 通吃"。

把这件事讲成一所学校。连续是“每个老师各自定自己的及格线”：你去问张老师，他给你一个 $\delta_张$；去问李老师，他给你一个 $\delta_李$。每个点都能报出一个 $\delta$，但这些 $\delta$ 可能一个比一个小得离谱，没人拿得出一个全校通用的数。一致连续是“教务处下一个统一文件”：一个 $\delta$，区间里所有点都认。

差别不在“有没有”，而在“能不能统一”。$1/x$ 在 $(0,1)$ 上每个点都有自己的 $\delta$，可教务处开不出统一文件，因为越靠近 $0$，需要的 $\delta$ 越小，小到没有正的下界。类比到此为止：学校标准是人定的、可以妥协；$\delta$ 是存在性声明，不许含糊——要么有一个正数能通吃，要么一个都没有。

把“越靠近 $0$ 越要更小”算成数字。在 $x_0$ 附近，$\left|\frac1x-\frac1{x_0}\right|\approx\frac{|x-x_0|}{x_0^2}$，要让误差 $<\eps$，取 $\delta\approx\eps x_0^2$ 就行。$\eps=0.01$ 时：$x_0=1$ 只要 $\delta=0.01$；$x_0=0.1$ 要 $\delta=0.0001$；$x_0=0.01$ 要 $\delta=0.000001$。$\delta$ 随 $x_0\to0$ 一路缩向 $0$，所以“统一的 $\delta$”不可能存在。

Cantor 定理的证明里有两处吃“闭区间”，值得单独点出来。第一，开区间族 $\{U(x,\delta_x)\}$ 要能取出有限个仍覆盖整个区间——有限覆盖定理只对闭区间成立，$(0,1)$ 上的开覆盖可以一个劲儿往端点里挤，抽不出有限个。第二，取出有限个之后才有 $\delta=\min\{\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_m}\}$：有限个正数的最小值仍是正数，而无限个正数的下确界可以是 $0$。一致连续偏偏要求 $\delta>0$，所以这两步一步都松不得。

换句话说，一致连续等于说“这个区间上的连续性能被打包成一个正数 $\delta$”。闭区间让打包成为可能（有限覆盖），开区间则常常让 $\delta$ 在端点附近被磨成 $0$。所以 Cantor 定理不是“闭区间上运气好”，而是“闭区间的紧性买来了统一的 $\delta$”。

本节带走：一致连续是全区间共用一个 $\delta$；换成开区间就会失效。

教材对应：第五章 导数和微分 · §1 导数的概念　§2 求导法则　§3 参变量函数的导数·高阶导数　§4 微分

上一章的连续只肯说“函数值彼此接近”，是个定性的、没有刻度的说法。这一章给它装上刻度：接近得有多快？把“函数值的变化 ÷ 自变量的变化”取极限，得到的数就是导数。从此能算速度、斜率、边际量，也能反过来用导数控制函数——那是第六章的事。

暗中还有一条线：记号的胜利。同样是变化率，Newton 写 $\dot y$，Leibniz 写 $\frac{\dd y}{\dd x}$；今天链式法则、换元积分、微分形式全长在 Leibniz 的记号上。底线只有一条：导数是一个极限，先有存在，才谈公式。

5.1 导数：瞬时变化率

左侧是"割线斜率"，取极限后成为"切线斜率"。物理上就是瞬时速度。把这个图像记住，后面所有定理都能翻译成几何语言。

导数就是"把割线斜率取极限"。h 越小，割线越像切线；如果这个斜率随着 h→0 有极限，就把它定义为切线斜率。记住：它只是一个极限，不保证图形好看，也不保证导函数连续。

为什么“极限存在”是硬要求？因为切线斜率必须唯一。$f(x)=|x|$ 在 $0$ 处，割线斜率右侧恒为 $+1$、左侧恒为 $-1$，两个方向给出两条不同的“切线”，于是我们既不承认切线，也不承认导数——不是算不出来，是答案不唯一。$f(x)=x\sin\frac1x$（补 $f(0)=0$）更极端：它连续，可差商 $\sin\frac1x$ 在 $0$ 附近跑遍 $[-1,1]$，极限不存在。可导排除的不只是尖角，还有无限振荡。

用定义把导数算一遍，看它怎么落地。求 $f(x)=\frac1x$ 在 $x_0=3$ 的导数：

$$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{3+h}-\frac13\right)=-\frac{1}{3(3+h)}\ \longrightarrow\ -\frac19\approx-0.111111.$$

代数字看收敛：$h=0.1$ 得 $-0.107527$，$h=0.01$ 得 $-0.110742$，$h=0.001$ 得 $-0.111074$。约分后 $h$ 从分母上消失，这才是“极限存在”的实质。若要误差小于 $0.001$，由 $\left|-\frac{1}{3(3+h)}+\frac19\right|=\frac{|h|}{3|9+3h|}$，取 $|h|\le0.02$ 时右端不超过 $\frac{0.02}{26.82}\approx0.00075$，故 $\delta=0.02$ 就够。

本节带走：导数是割线斜率的极限：可导必连续，反之不然。

5.2 求导法则

本节带走：链式法则的本质是“增量 = 线性主部 + 高阶小量”。

5.3 高阶导数与 Leibniz 公式

把 $f'$ 再求导得 $f''$，一般地记 $f^{(n)}$。乘积的高阶导数有公式：

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

形式与二项式展开完全一样。记不住的话，用归纳法推一遍就懂了。

它和二项式 $(u+v)^n=\sum\binom nk u^kv^{n-k}$ 长得一样，不是巧合。求 $n$ 次导数可以想成“做 $n$ 次选择”：每一撇要么打在 $u$ 上、要么打在 $v$ 上。若有 $k$ 撇落在 $u$ 上就得到 $u^{(k)}v^{(n-k)}$，而选择的顺序有 $\binom nk$ 种，乘法可交换使它们合并成一项，系数正是 $\binom nk$——二项式里 $\binom nk$ 数的也是“$n$ 个括号挑 $k$ 个取 $u$”的方案数。$n=2$ 时 $(uv)''=u''v+2u'v'+uv''$，中间那个 $2$ 就是“先 $u$ 后 $v$”与“先 $v$ 后 $u$”两条路。

本节带走：高阶导数用 Leibniz 公式，形式与二项式展开一样。

5.4 微分：线性主部

“线性主部”的大白话是：把曲线放到放大镜底下，它看起来像一条直线。放大倍数越大，弯得越少；增量里最主要的那块是 $f'(x_0)\Delta x$（$\Delta x$ 的一次式，所以叫线性的），剩下的虽然还在，但比 $\Delta x$ 小得多，占比随 $\Delta x\to0$ 趋于零。$\dd y=f'(x_0)\dd x$ 就是这一块，把复杂的 $\Delta y$ 换成“斜率乘步长”。一元里可微与可导恰好等价（见下面的定理），两种说法只是切入口不同：一个讲差商，一个讲增量分解。

数字版：$\sqrt{1.02}$ 取 $f(x)=\sqrt x$、$x_0=1$、$\Delta x=0.02$，则 $\sqrt{1.02}\approx1+\frac12\times0.02=1.01$。真值 $1.009950\ldots$，误差约 $5\times10^{-5}$，只有 $\Delta x$ 的千分之二点五。步子放大十倍：$\sqrt{1.2}\approx1.1$，真值 $1.095445$，误差 $0.0046$，是刚才的九十来倍——误差按 $\Delta x^2$ 增长，“步子小”才是近似可用的前提。

本节带走：微分是线性主部；一元函数里可微 $\iff$ 可导。

教材对应：第六章 微分中值定理及其应用 · §1 拉格朗日定理与单调性　§2 柯西中值定理与不定式　§3 泰勒公式　§4 极值·最值·凹凸性

上一章把导数算了出来，回答的只是"某一点的瞬时变化率是多少"。实际问题问的却常是整段路：从 $a$ 到 $b$，函数一共变了多少？这个总量能不能由局部速率倒推？这一章的回答是：能，但要靠一条存在性定理当中间人。它也是后面"证不等式、数方程根的个数、估误差"的总入口；第九章的定积分还会回来取货。不过中值定理自己也是一条"存在性"结论——那个 $\xi$ 凭什么一定存在？这要等下一章把实数系的地基挖开，才说得清。

这一章是整个微分学的核心。它的价值在于：把"函数在一个区间上的整体信息"和"某一点的导数"连起来。所有"证明不等式""证明方程有根""估计误差"的题，入口都在这里。

6.1 一条定理链

这一节四个结论不是四座并排的碑，而是一条流水线：后一个把前一个当机器，自己只多做一件事。看清"多做的那件事"，比记住四个结论的措辞有用得多。

逐个数多做的那件事。Fermat 引理只用了极限的保号性——极值点左侧差商非负、右侧差商非正，两边取极限只好都是 $0$。Rolle 加的是最值定理：先保证"最大值真的存在"，才轮得到 Fermat 去说"那点的导数为零"。Lagrange 加的是一次构造：减去割线，把斜弦压成水平弦，问题退回 Rolle。Cauchy 加的是换视角：把 $(g(t),f(t))$ 看成平面上一条曲线，结论就是"某点的切向量与弦平行"。

Rolle 定理最容易被背成"两端相等就有导数为零的点"，其实它有一句大白话：开车出去又开回原地，路上总有一刻速度表指零。想跑出去速度为正，想回来就得掉头、速度为负，从正变负必然经过零。前提是位置连续变化（不能瞬移）、速度表一直有读数（处处可导）。三个条件因此各管一件事：闭区间连续管"没跳过去"，开区间可导管"一直有读数"，两端相等管"回到原地"。

中值定理说的是：一段路上的"平均变化率"，必然等于路上某一点的"瞬时变化率"。开车两小时走了 120 公里，平均时速 60，那么这两小时里至少有一瞬间，速度表正好指着 60。就这么朴素。

中值定理被叫"桥梁"，是因为它把两类信息焊进一个等式：$f(b)-f(a)$ 是函数在整段上的信息（量两端高度即可），$f'(\xi)(b-a)$ 是导数在某一点的信息（知道斜率即可）。等式成立，你就能单方面使用某一边：想估函数差就去估导数，想研究函数就去看导数。

它的形状很怪：只保证 $\xi$ 存在，绝不告诉你 $\xi$ 在哪。可证不等式时，你要的从来不是 $\xi$ 的地址，而是它的取值范围。取 $f(t)=\sqrt t$，在 $[100,101]$ 上用它：

$$\sqrt{101}-10=\frac{1}{2\sqrt{\xi}},\qquad \xi\in(100,101).$$

由 $10<\sqrt\xi<11$ 得 $\dfrac1{22}<\dfrac1{2\sqrt\xi}<\dfrac1{20}$，故 $0.04545\ldots<\sqrt{101}-10<0.05$，即 $10.045<\sqrt{101}<10.05$——不用计算器就夹住了它（真值 $10.04988$）。一步代数换三位有效数字，这就是桥梁的汇率。

本节带走：中值定理：平均变化率必在某一点被瞬时变化率取到。

6.2 Taylor 公式

Taylor 公式的本质是用多项式冒充函数。多项式最好算：四则运算就能出值，求导还是多项式。于是算盘是：在 $x_0$ 附近找一个多项式，让它在 $x_0$ 处的值、一阶导、二阶导……直到 $n$ 阶导都与原函数相同——两条曲线贴合到 $n$ 阶，贴得越狠，分开得越晚。

但"附近像"不等于"像"。$\sin x$ 与 $x-\dfrac{x^3}{6}$：在 $x=0.5$ 处，$\sin0.5\approx0.47943$，多项式给 $0.47917$，只差 $0.00026$——恰好是被丢掉的第一项 $\dfrac{0.5^5}{5!}$ 的量级，误差有了确定的量级；换到 $x=3$，$\sin3\approx0.1411$，多项式给出 $3-4.5=-1.5$——差了一个量级，连符号都错。多项式只在展开点附近冒充，越远越露馅。

两种余项分工明确。Peano 余项 $o\big((x-x_0)^n\big)$ 不告诉你误差多大，只告诉你误差消失得多快——它的地盘是极限：求 $\lim\frac{\cdots}{x^n}$ 时 $o(x^n)$ 一除就归零，但你要它担保小数点后四位，它一个字都不担保。

Lagrange 余项反过来，直接给出能算的式子 $\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。$\xi$ 仍不知道在哪，可只要 $f^{(n+1)}$ 有上界 $M$，误差就被 $M\dfrac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}$ 卡死。这是"能报数"的余项。一句话：要极限用 Peano，要误差用 Lagrange；前者管多快，后者管多少。

把数代进去，看误差到底多大。$e^{0.1}=1+0.1+\dfrac{0.01}{2}+R_2$，前三项给 $1.105$；余项 $|R_2|\le\dfrac{e^{0.1}}{6}(0.1)^3<\dfrac{3}{6}\cdot10^{-3}=5\times10^{-4}$（用了 $e^{0.1}<3$）。真值 $1.1051709\ldots$，实际误差约 $1.7\times10^{-4}$，确实落在界内。

同一个式子估 $e$ 本身：$|R_n|<\dfrac{3}{(n+1)!}$。取 $n=6$ 得界约 $6.0\times10^{-4}$，取 $n=10$ 得约 $7.5\times10^{-8}$——想多要三位小数，把 $n$ 从 $6$ 抬到 $10$ 就行。误差界像价目表，一眼看出要付多少项。

本节带走：要极限用 Peano 余项，要误差用 Lagrange 余项。

6.3 L'Hospital 法则

这条法则不是新定理，它是 6.1 那台机器换个壳：对 $x$ 与 $x_0$ 用 Cauchy 中值定理，$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$，$\xi$ 夹在 $x$ 与 $x_0$ 之间；$x\to x_0$ 时 $\xi\to x_0$，右边趋于 $\lim\dfrac{f'}{g'}$。所以法则的全部内容是把难点搬到 $\xi$ 那里，而这要求 $f(x_0)=g(x_0)=0$——先验型不是形式主义。

本节带走：L'Hospital 三查：是不是 $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$、条件够不够、有没有循环。

6.4 导数的形状信息

表格要分两层读。第一层是必要条件：$f'(x_0)=0$ 只说明切线水平，可能在峰顶、谷底，也可能只是上坡路上短暂歇脚（$x^3$ 在 $0$ 处）。第二层才是判别：决定极值的是 $f'$ 在 $x_0$ 两侧是否变号——正变负为极大，负变正为极小，不变号就不是极值。二阶导判据只是它的偷懒版：$f''(x_0)\ne0$ 时，由 $f'(x_0)=0$ 可知 $\dfrac{f'(x)}{x-x_0}$ 在 $x_0$ 附近保持 $f''(x_0)$ 的符号，$f'$ 两侧必然异号，于是只看一个数就够。

拐点同样要看变号：$f''(x_0)=0$ 不算拐点，要 $f''$ 两侧异号。两个反例正好把两件事拆开：$f(x)=x^4$ 在 $0$ 处 $f'(0)=f''(0)=0$，而 $f''=12x^2\ge0$ 两侧同号，故 $0$ 是极小值点而非拐点；$f(x)=x^3$ 的 $f''=6x$ 两侧异号，故 $0$ 是拐点而非极值点。

本节带走：导数当探测器：单调看一阶，凹凸看二阶。

教材对应：第七章 实数的完备性 · §1 完备性的基本定理　§2 上极限和下极限

这一章的处境有点怪：它一直被使用，却从没正式露过面。前面那些"该有的极值真的存在""该有的极限真的存在"的结论，都是向它领的许可证，只是当时没人报出它的名字。这一章不引入新工具，只把这张许可证的底细翻出来，从六个角度各看一遍，再说明这六个角度是同一件事。

它的特殊之处在于：内容几乎就是证明本身。读时别问"这条能算什么"，要问"它保证什么存在"——完备性不产出数值，它产出存在的资格。第九章的定积分存在性、可积性，都要回来向它要资格。

前六章用到的很多结论——最值定理、一致连续、收敛子列——背后站着同一个东西：实数系是完备的。这一章把它拆成六种等价表述，让你看清"地基"长什么样。

完备性翻译成人话就是"数轴上没有洞"：任何看起来该有个极限的东西，确实有一个实数当它的极限。这条性质不能从加减乘除推出来，它是实数的"出厂设置"。

7.1 完备性的六种表述

六条是同一句话——数轴没有洞——的六个方向。逐条翻成人话：① 确界原理：一堆数只要被某个数压住，就有一个"最贴的盖子"；② 单调有界：一直往上爬却爬不出笼子，总得有个落脚点；③ 区间套：一层层往里套，最后恰好剩一个点；④ Bolzano–Weierstrass：无穷多个点挤在有限长的一段里，总有一处越挤越密；⑤ Cauchy 准则：项与项自己越靠越近，就必然真有个极限在等它；⑥ 有限覆盖：每点都有局部保障，就能挑出有限条管住整段。

它们不能各自独立，是因为"有洞"会让它们同时漏水。拿有理数 $\Q$ 试：$1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\dots$ 是 Cauchy 列，在 $\Q$ 里却没有极限，⑤ 崩；$\{x\in\Q:x^2<2\}$ 有上界而无上确界，① 崩；用有理端点的小区间去盖 $\Q\cap[0,2]$ 时，可以让区间从两侧逼近 $\sqrt2$，于是任何有限个都会漏掉一段，⑥ 也崩。一处有洞，六处一起漏——这比任何证明都更能说明它们是一件事。

本节带走：六条定理是同一件事的六种说法，记住一条就能推出其余。

7.2 循环证明图

图上每个箭头是一条定理的证明，不是抽象的蕴含。课本写"确界原理 ⇒ 单调有界定理"，意思就是有一页纸从"非空有上界集有上确界"推到"单调有界数列收敛"。考"用 A 证 B"，就在图上找一条从 A 到 B 的路，把沿途证明串起来。

给个最小样本——确界原理如何推出单调有界。设 $\{a_n\}$ 递增有上界，$A=\{a_n\}$，由确界原理 $\xi=\sup A$ 存在。任给 $\varepsilon>0$，$\xi-\varepsilon$ 不是 $A$ 的上界，故有 $N$ 使 $a_N>\xi-\varepsilon$；又 $\xi$ 是上界。由递增性，$n\ge N$ 时 $\xi-\varepsilon<a_n\le\xi$，即 $|a_n-\xi|<\varepsilon$，故 $a_n\to\xi$。

其余箭头是同一路数的变奏：造区间（二分）、抓子列（留含无穷多项的那一半）、取 $\min$（有限覆盖）。每处都只用"确界存在"或"某点取到最值"这类保证，所以真正要背的细节只有两三个。这也是教材敢把六条并排说"等价"的底气。

本节带走：循环图里找一条路，就能“用 A 证 B”。

7.3 区间套：怎么造，怎么用

区间套定理本身只有一句话，真正要练的是怎么把一个"想要的数"套出来：先造一列不断缩小的区间，让目标数始终被夹在中间，再让长度趋于零。

区间套就是套娃：一个比一个小，每个都装在前一个里面，而且越套越小、小到趋于零。定理说，这时总有恰好一个点被所有套娃包着。全靠两件事承重：套娃是闭的（端点不许丢，否则点会从缝里漏走），尺寸趋于零（否则剩下的是一整段）。类比到此为止：真套娃最薄也有厚度，数学区间可以无限薄，所以"剩一个点"是极限意义下的结论，不是第几步能看到的景象。

把二分法走四步，看得见地缩小（目标是 $\sqrt2$）：

四步之后 $\sqrt2\in[1.375,\,1.4375]$，长度 $0.0625=2^{-4}$。每步长度减半，走 $n$ 步误差不超过 $2^{-n}$：想要六位小数，约走 $20$ 步。这就是区间套在生产一线的样子——它不只证明存在，还附送算法和误差。

本节带走：区间套负责造数：$\sqrt2$ 的存在性就是套出来的。

7.4 有限覆盖：把无穷多个局部条件压成有限个

有限覆盖定理最不像"定理"，因为它就是一句大白话：无限多个局部条件，居然能用有限个管住全部。想象一段路上每一点都站着一个人，各拿一张小网罩住脚下。无限多张网当然盖得住整条路——真问题是：能不能只留有限几张，仍然盖住全程？定理说：路是闭区间、网是开区间，答案就是能。

为什么"开"这个字不能改？开区间意味着每张网盖住一点时还留了一圈余量，相邻的网才能咬合着接力。若允许闭网，就会出现像 $\{1\}$ 这种"只盖一个点、没有厚度"的网：盖是盖住了，却接不上旁边，接力一断，有限张就盖不全。例如 $[0,1]$ 被 $\{[0,1-\frac1n]\}_{n\ge2}\cup\{[1,1]\}$ 覆盖（全是闭集），但任何有限个的并都碰不到靠近 $1$ 的那一小段：设这些集合里下标最大的是 $N$，它们的并只是 $[0,1-\frac1N]\cup\{1\}$，漏掉 $(1-\frac1N,\,1)$——闭覆盖确实可以没有有限子覆盖。类比到此为止：网的大小不是你现场能调的，定理说的是"从已经发下去的无限多张里挑出有限张"，不是"允许重新设计网"。

典型套路：先对每一点证一个局部性质，得到开覆盖；再用有限覆盖把无穷多条并成有限条；最后取 $\min$（或 $\max$）得到统一常数。

本节带走：有限覆盖把无穷个局部条件压成有限个，才能取 $\max/\min$。

7.5 上极限与下极限

上下极限解决什么问题？极限问"最后收敛到哪"；数列到处乱跳时，答案只有一个词——"不存在"，信息量为零。上下极限退一步：不问你最后停在哪，只问你最终被夹在哪两条线之间。上限是"最终的天花板"，下限是"最终的地板"；两者相等，乱跳就变成收敛。

"最终"两字很要紧：$M_n=\sup_{k\ge n}a_k$ 只扫第 $n$ 项以后的尾巴，前面的项一概不算，所以 $M_n$ 随 $n$ 增大而单调不增——尾巴越短，天花板只会越低。上极限就是这列天花板的极限。

三条性质：$\liminf\le\limsup$；数列收敛 $\iff$ 两者相等（此时等于极限）；有界时 $\limsup$ 恰是全体子列极限中的最大者，$\liminf$ 是最小者。

拿 $a_n=\sin\dfrac{n\pi}{2}$ 练手：它是 $1,0,-1,0,1,0,-1,\dots$ 的循环。扫尾巴：从第 $n$ 项起，$1$ 与 $-1$ 都还无限次出现，故 $M_n\equiv1$、$m_n\equiv-1$，于是 $\limsup=1$、$\liminf=-1$，而 $\lim$ 不存在。再看 $a_n=\dfrac1n$：$M_n=\dfrac1n$、$m_n=0$，两者都趋于 $0$，等于极限——收敛时上下极限自动合并。最后 $a_n=(-1)^nn$：$M_n=+\infty$、$m_n=-\infty$，故 $\limsup=+\infty$、$\liminf=-\infty$。三种情形一套定义全包。

本节带走：上下极限是不收敛数列的替身：两者相等 $\iff$ 收敛。

教材对应：第八章 不定积分 · §1 概念与基本积分公式　§2 换元积分法　§3 分部积分法　§4 有理函数积分

这一章在故事里的位置：前面七章从实数、极限、连续一路搭到导数与中值定理，再补上实数完备性这块地基，最后落脚在“已知函数，求它的导数”。这一章把箭头反过来：已知导数，问原函数是谁。这不是出于好奇心。第九章要算"曲线下的面积"，而面积最后会归结为找原函数，所以不会求原函数，后面三章一步也走不动。

反过来的方向为什么难？因为求导是一套机械的算法：幂函数、乘积、商、复合，各有公式，照着做就行，做完还能立刻验算。求积分没有这种通用算法，只能把被积式改写成某个已知导数的样子。改写的三招——凑、换、分部——就是本章的全部内容。还有一个更坏的消息：有些函数的原函数根本不是初等函数，再怎么凑也凑不出来，本章末尾会说到。

求导像"照着菜谱做菜"：材料给进去，步骤固定，出锅还能尝一口验算。求积分像"给你一盘菜，倒推菜谱"——可能有好几份菜谱（差一个常数），也可能根本没有家常菜谱（原函数不是初等函数）。所以这一章真正要学的不是公式，是认路的本事：先看这盘菜像哪条路子的。类比到此为止：倒推菜谱至少还有有限种可能，而积分连"通用倒推法"都不存在，这才是它比求导难的地方。

不定积分是"技术活"，但技术背后只有三条路：凑、换、分部。这一章要多动手，光看不练等于没学。预习的要求不高：把基本积分表和两条换元法则搞清楚，剩下的交给课堂和习题。

不定积分就是"求导反过来"：我问"谁求导之后得到 $f$"。答案不唯一——所有答案之间只差一个常数，所以写 $+C$。至于怎么找，全章只有三招：凑微分、换元、分部。

8.1 换元：把陌生的凑成熟人

把这条定理翻译成动作：第一类换元就是链式法则倒着放。正着看，$(\sin(x^2))'=\cos(x^2)\cdot 2x$——外面一层求导，再乘里面那层的导数。倒着看，如果被积式里同时出现了"里面那层"和"它的导数"，那它就是某个复合函数求导的产物，直接还回去即可。

拿 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\dd x$ 走一遍：先认出里面那层是 $u=x^2$，它的导数 $2x$ 恰好作为一个因子躺在被积式里；于是把 $2x\dd x$ 整体读成 $\dd u$，式子变成 $\int\cos u\,\dd u=\sin u+C$；再换回 $x$，得 $\sin(x^2)+C$。验算：$(\sin(x^2))'=2x\cos(x^2)$，正是原来的被积函数。整个过程没有"灵感"，只有一次辨认：被积式里有没有某个因子，恰好是另一部分的导数？有就换元，没有才想别的。

第二类换元的方向是反的：不是"从被积式里认出导数"，而是主动把 $x$ 换成一个三角函数，目的只有一个——用 $\sin^2t+\cos^2t=1$ 把根号整体拿掉。根号一去，剩下的就是三角有理式，回到熟悉的路上。代价是要回代：答案里的 $t$ 得换回 $x$，通常靠画一个直角三角形把三边读出来。

走一个具体的：$\displaystyle\int\frac{\dd x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$。令 $x=\sin t$（$t\in(0,\frac\pi2)$），则 $\dd x=\cos t\,\dd t$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，被积式变成 $\displaystyle\int\frac{\cos t\,\dd t}{\sin^2t\cos t}=\int\frac{\dd t}{\sin^2t}=-\cot t+C$。回代：画一个斜边 $1$、对边 $x$ 的直角三角形，邻边是 $\sqrt{1-x^2}$，于是 $\cot t=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$，答案为 $-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}+C$。

本节带走：凑微分就是认出一个 $\varphi'(x)$，把陌生的凑成熟人。

8.2 分部积分

分部积分就是乘积法则倒着放，和换元之于链式法则是一回事。正着看：$(uv)'=u'v+uv'$。两边同时积分，得 $uv=\int u'v+\int uv'$，把其中一项移过去就是 $\int u\dd v=uv-\int v\dd u$。所以这个公式里没有新东西，它只是一笔交易：$u$ 求一次导会变简单，$\dd v$ 积一次分会变简单，手续费是先算出乘积项 $uv$。做不动的题，往往是这笔交易划不来。

拿 $\displaystyle\int\ln x\,\dd x$ 走一遍。它光秃秃一个 $\ln x$，看着无从下手；但只要肯把 $\dd v=\dd x$ 补上就活了：取 $u=\ln x$、$\dd v=\dd x$，则 $\dd u=\dfrac{\dd x}{x}$、$v=x$，于是

$$\int\ln x\,\dd x=x\ln x-\int x\cdot\frac{\dd x}{x}=x\ln x-x+C.$$

顺手验算一个点：$F(x)=x\ln x-x$ 在 $x=2$ 处的导数是 $\ln2+1-1=\ln2\approx0.693$，正是被积函数 $\ln x$ 在 $x=2$ 处的值。分部积分算完，代一个点回去对一下，比重新推一遍省时间。

为什么这次交易划算？因为 $\ln x$ 求导之后掉进了有理式 $\dfrac1x$，随便积。所以选 $u$ 只有一条标准：谁的导数比它自己简单，就选谁当 $u$。"反对幂指三"只是这条标准的经验总结——反三角与对数求导后都变成有理式，所以排在最前面。

本节带走：分部积分的口诀：反对幂指三。

8.3 有理函数：有算法，不靠灵感

对 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$（$P,Q$ 为多项式，$P$ 次数低于 $Q$）：

这套算法为什么值得学？因为它是本章唯一一条"一定能走完"的路。别的技巧都靠眼力，有理函数不用：只要分母能分解，就一定能拆；拆完每一项都积得出来。换句话说，有理函数的积分不是"会不会"的问题，是"愿不愿意算"的问题——代价是最后一步的计算量可能很大。

本节带走：有理函数有固定算法，不靠灵感。

8.4 有理函数：把算法走完

真分式 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 的积分一定有初等解，步骤固定：长除法（假分式）→ 因式分解 → 部分分式 → 逐项积分。真正花时间的只有第三步的系数。

本节带走：二次式先看判别式：配方得 $\arctan$，拆解得 $\ln$。

8.5 三角有理式：万能代换

遇到 $R(\sin x,\cos x)$ 的有理式，令 $t=\tan\dfrac x2$，则

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \dd x=\frac{2\,\dd t}{1+t^2},$$

三角函数就被翻译成了普通有理式，接下来走 8.4 的流程。

万能代换为什么一定成功？因为 $\sin x$、$\cos x$ 都是 $t=\tan\frac x2$ 的有理函数。这件事来自半角公式：画一个对边 $t$、邻边 $1$、斜边 $\sqrt{1+t^2}$ 的直角三角形，读出 $\sin\frac x2=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$、$\cos\frac x2=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$，再用倍角公式就得到 $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$、$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$；而 $\dd x=\dfrac{2\dd t}{1+t^2}$ 来自 $x=2\arctan t$ 求导。三条合起来，三角函数被整个翻译成 $t$ 的有理式，接下来交给 8.4 的算法。它的全部价值就在这里：把"没有算法"的三角积分，变成"有算法"的有理积分。

代价是计算量。$t$ 的有理式次数通常比原式高得多，拆部分分式时系数会很丑，所以它是保底方案，不是首选方案：先看能不能凑微分，凑不出来再上万能代换。

看一个"用了更亏"的例子：$\displaystyle\int\sin^2x\,\dd x$。用万能代换，被积式变成 $\dfrac{8t^2}{(1+t^2)^3}\dd t$——要拆一个三次的重因式，系数难得让人怀疑人生。而用半角公式 $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，两行就得到 $\dfrac x2-\dfrac{\sin2x}{4}+C$。同一个积分，一条路三行，一条路三页。

本节带走：三角有理式：先试凑微分，不行再万能代换。

教材对应：第九章 定积分 · §1 定积分概念　§2 牛顿—莱布尼茨公式　§3 可积条件　§4 性质　§5 微积分学基本定理

这一章在故事里的位置：第八章解决了"怎么找原函数"，但没有回答"为什么要找"。这一章先给面积下一个不依赖图形的定义——分割、求和、取极限——再证明这个极限可以用原函数算出来，也就是 Newton–Leibniz 公式。两件事合起来，"积分"才从几何直觉变成一台可用的机器。第十章拿它去算体积、弧长、做功；第十一章则把它两个前提（区间有限、函数有界）拆掉。

定积分不是一个"数"，是一个极限过程的产物。理解它的最好方式是：先把定义写一遍，再用定义算一个最简单的积分，你会立刻明白为什么 Newton–Leibniz 公式那么珍贵。

定积分就是"拿一堆细长条去凑面积"。条子怎么切、每条取哪一点的高度，都不该影响最后结果——只要能保证这个"不该影响"，这个极限就叫积分。

把三步拆开看，每一步都在堵一个漏洞。分割任意：不许你专挑等分这种好算的分法，因为"面积"不该依赖刻度怎么画。取点任意：每条小矩形的高度取左端、右端还是中点，答案都不能变；若会变，就说明这块"面积"根本没定义好。$\lambda\to0$ 对任意细分：不是"存在某种很细的分法"，而是"只要够细，随便哪种分法都行"。三条合起来，才排除了"靠挑分法作弊"的可能。

再把 $\displaystyle\int_0^1x^2\dd x$ 算一遍，这次能看清"求和"到底长什么样。等分 $n$ 份、取右端点 $\xi_i=\frac in$：

$$\sum_{i=1}^n\Big(\frac in\Big)^2\frac1n=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to\frac13.$$

代入数字看误差：$n=100$ 时和为 $\frac{101\cdot201}{60000}\approx0.3384$，与 $\frac13\approx0.3333$ 差 $0.005$；$n=1000$ 时差 $0.0005$——误差按 $\frac1n$ 缩，这就是"$\lambda\to0$"的肉眼版本。顺便也能看出为什么没人愿意用定义算积分：为了一次数，还得先会 $\sum i^2$；被积函数换成 $\sin x$，这条路就彻底断了。

9.1 变上限积分与 Newton–Leibniz 公式

这条定理的人话版本只有一句：面积函数的变化率，就是右边界处的高度。$\Phi$ 从 $x$ 长到 $x+\Delta x$，多出来的那块面积夹在两个矩形之间：高为 $f$ 在这小段上的最小值、宽为 $\Delta x$ 的矩形，以及高为最大值的矩形。$f$ 连续时，两个高都被挤向 $f(x)$，所以多出的面积 $\approx f(x)\Delta x$，误差是 $o(\Delta x)$；除以 $\Delta x$ 再让 $\Delta x\to0$，就得到 $\Phi'(x)=f(x)$。

具体算一次：取 $f(t)=t^2$，则 $\Phi(x)=\displaystyle\int_0^xt^2\dd t=\frac{x^3}{3}$，求导得 $x^2$，正是 $f(x)$。这个例子"太巧"，因为它本来就能积出来；定理真正的分量在反过来用——先有 $\Phi$，才证明了 $f$ 有原函数。对 $\dfrac{\sin t}{t}$、$e^{-t^2}$ 这类积不出来的函数，$\Phi$ 依然存在、依然可导，只是写不成初等表达式。

这条公式把"求面积极限"降级成"求原函数再相减"，是整门课最实用的工具。但它有前提：$f$ 必须连续（或至少原函数存在且足够好）。

它为什么是整门课的高潮？因为在它之前，"求面积"和"求原函数"是两件毫不相干的事：前者是分割求和的极限（本章开头那条又长又难的定义），后者是求导的逆运算（上一章的技术活）。这条公式说：它们是同一件事的两面。于是算面积不用再求和——找原函数、代两个端点、相减，三步搞定。

感受一下差距。用定义算 $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\dd x$ 基本走不通（Riemann 和里的 $\sum\sin\xi_i\,\Delta x_i$ 没有闭式）；用 N–L，$[-\cos x]_0^\pi=1+1=2$，一行。$\displaystyle\int_0^1\frac{\dd x}{1+x^2}$ 也一样：定义没法下手，而 $[\arctan x]_0^1=\frac\pi4$。这就是为什么后面所有计算题都只考"找原函数"，没人再考"用定义求极限"。

本节带走：变上限积分给出连续函数的原函数，N–L 公式才有依据。

9.2 定积分的性质与计算

这张表里最值钱的是区间可加和换元、分部：前者让你能在瑕点或分段点处把区间切开（第十一章要反复用），后者让你不必回到定义。而"保序"和"绝对值估计"是用来估计积分的——很多题不需要算出值，只需要知道它不超过多少，这两条就是全部工具。

本节带走：定积分换元三件套：被积式、$\dd x$、上下限，一个都不能漏。

教材对应：第十章 定积分的应用 · §1 平面图形面积　§2 平行截面求体积　§3 弧长与曲率　§4 旋转曲面面积　§5 物理应用

这一章在故事里的位置：第九章给了两样东西——定积分的定义（分割求和的极限）和 N–L 公式（用原函数算它）。这一章的角色是"建模"：把几何量和物理量写成积分。会不会算出积分是上一章的事，这里的难点是"这个式子凭什么这么列"。列式的方法只有一个，叫微元法；它的合法性全部押在一句误差估计上。再往后，第十一章会把"区间有限、函数有界"这两个前提也拆掉。

这一章不引入新定理，只训练一件事：把一个几何量写成积分。会不会积分是第九章的事；这里的难点是"怎么写出来、凭什么这么写"。

10.1 微元法：从"近似"到"等式"

微元法的意思是：先只看极窄的一条，把这条上的量近似成"密度 × 长度"，再把所有条加起来。难点不在积分，而在"这条上的近似凭什么成立"。

再压缩一遍：先看一小块，把这一小块算准到"误差比 $\dd x$ 还小"，再积分。"先近似后相等"之所以合法，是因为误差按段累加时会被"摊薄"：分成 $n$ 段，第 $i$ 段误差不超过 $\eps_i\Delta x_i$，其中 $\eps_i$ 随分段变细一致地趋于零，于是总误差 $\le\sum\eps_i\Delta x_i\le\max\eps_i\cdot(b-a)\to0$。注意最后一步用了"一致"：$\eps_i$ 必须对所有段同时变小，不能靠"某几段特别细"来蒙混。这也解释了为什么微元法的技术核心是"$o(\dd x)$ 中的 $o$ 对 $x$ 一致"。

本节带走：微元法的核心是误差 $o(\dd x)$，不是公式本身。

10.2 面积：上减下，或右减左

本节带走：面积：哪种积分不用分段，就用哪种。

10.3 体积：切片与旋转

三行公式不必当三张表背，它们是同一个小块的三种切法。绕 $x$ 轴转，切片垂直于轴，切出来是圆盘：半径 $f(x)$、厚 $\dd x$，体积 $\pi f^2\dd x$。绕 $y$ 轴转，若仍沿 $x$ 切片，切出来是一圈筒壁：半径 $x$、高 $f(x)$、厚 $\dd x$，剪开展平成一个长方体，体积 $2\pi x\,f(x)\dd x$。选哪个只取决于"哪种切法让边界变成一条曲线"，这和 10.2 里选 $x$ 型还是 $y$ 型是同一个道理。

拿同一条曲线对一下：$y=x^2$（$0\le x\le1$）绕 $x$ 轴，圆盘法得 $V=\pi\int_0^1x^4\dd x=\frac\pi5$；绕 $y$ 轴，柱壳法得 $\frac\pi2$（下面例子里算）。同一条曲线、同一个区间，绕不同的轴体积差了一倍多——不是算错，是切法换了。

本节带走：体积：绕 $x$ 轴用圆盘，绕 $y$ 轴用柱壳。

10.4 弧长：用弦长逼近

小段弦长 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{1+f'^2}\,\Delta x+o(\Delta x)$，故

$$L=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,\dd x.$$

$\sqrt{1+f'^2}$ 是弦长公式化出来的。一小段的两个直角边是 $\Delta x$ 与 $\Delta y$，弦长 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^2}\,\Delta x$。再用 Lagrange 中值定理把 $\Delta y$ 换成 $f'(\xi)\Delta x$（$\xi$ 在这小段内），弦长就成了 $\sqrt{1+f'(\xi)^2}\Delta x$。分割越细，$\xi$ 越贴近这段的每一点；$f'$ 连续时 $\sqrt{1+f'(\xi)^2}$ 一致地逼近 $\sqrt{1+f'(x)^2}$，所以它确实是一个 $f(x)\dd x+o(\dd x)$，可以积分。

值得留意：这里真的用了中值定理。没有它，只能写 $\Delta y\approx f'\Delta x$，误差是多少说不清；有了它，弦长被精确写成某个中间点的导数，剩下的只是一致性估计。这是第十章唯一一处实质用到第七章工具的地方。

本节带走：弧长里永远带着 $\sqrt{1+f'^2}$。

10.5 旋转曲面面积：为什么不是 $2\pi\int f\,\dd x$

侧面的那一小圈，宽不是 $\dd x$，而是弧长 $\sqrt{1+f'^2}\,\dd x$：

$$S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'^2(x)}\,\dd x.$$

为什么"宽"必须是弧长？把一小段放大看：绕 $x$ 轴转出来的那一圈其实是个圆台，不是圆柱。圆台的侧面积是 $\pi(r_1+r_2)\cdot(\text{母线长})$，母线是斜的 $\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$；而 $2\pi f\,\Delta x$ 相当于把这个圆台"拍扁"成同半径、同高的圆柱，只算了水平宽度，漏掉斜出去的那一截。

用数看漏多少。取 $y=x$ 上从 $x=1$ 到 $x=1.1$ 的一小段：圆台两底半径 $1$ 与 $1.1$，母线长 $0.1\sqrt2\approx0.1414$，正确侧面积 $\pi(1+1.1)(0.1\sqrt2)\approx0.933$；错写成 $2\pi\cdot1\cdot0.1\approx0.628$，小了三分之一。更关键的是这个差距不会随 $\Delta x\to0$ 消失：$y=x$ 时正确式与错误式之比趋于 $\sqrt2$ 而不是 $1$。误差只与 $\dd x$ 同阶，累加后当然留下一整块。

本节带走：侧面积的“宽”是弧长而不是 $\dd x$，这是最常见的错。

10.6 物理应用：变力做功

若力沿 $x$ 方向、大小随位置变化，则小段做功 $\dd W=F(x)\dd x$，故 $W=\int_a^bF(x)\dd x$。

变力做功的微元好理解：一小段位移 $\dd x$ 里，力几乎不变，做功就是 $F(x)\dd x$；把无数小段加起来就是积分。"力几乎不变"的误差是 $o(\dd x)$——$F$ 连续时，一小段内力最多变化一点点。这也是 10.1 那套误差估计的又一次应用。

带数算一次。弹簧 $k=200\ \mathrm{N/m}$，从自然长度拉到 $x=0.3\ \mathrm{m}$：

$$W=\int_0^{0.3}200x\,\dd x=100x^2\Big|_0^{0.3}=100\cdot0.09=9\ \mathrm{J}.$$

它不等于"末端的力 × 距离"：末端力是 $200\cdot0.3=60\ \mathrm{N}$，乘 $0.3$ 得 $18\ \mathrm{J}$，正好是正确答案的两倍。全程平均力是 $30\ \mathrm{N}$，乘 $0.3$ 才是 $9\ \mathrm{J}$。对线性力，"平均力等于初末之半"成立；但这不是普遍规律——$F=x^2$ 从 $0$ 到 $3$ 时，$\int_0^3x^2\dd x=9\ \mathrm{J}$，平均力是 $3\ \mathrm{N}$，而不是 $(0+9)/2=4.5\ \mathrm{N}$。

本节带走：变力做功：先写微元 $\dd W=F\dd x$，再积分。

教材对应：第十一章 反常积分 · §1 概念　§2 无穷积分的性质与敛散判别　§3 瑕积分的性质与敛散判别

这一章在故事里的位置：第九章、第十章的所有结论都默认了两件事——区间有限、函数有界。这一章把这两个前提拆掉，问一个更基本的问题：面积到底有没有限。这问题看着技术，其实是"极限存在性"在积分里第一次正面登场：很多积分根本算不出值，但我们仍然需要知道它收敛不收敛。判别法（$p$ 判别、比较法、Dirichlet）就是为这件事准备的；再往下一册，同样的想法会变成级数理论。

定积分要求区间有限、函数有界。反常积分把这两个限制放开，用极限来定义。它看起来只是"多算一步极限"，但收敛性判断常常比计算本身更重要。

11.1 两类反常积分

反常积分问的不是"等于几"，而是"面积到底有没有限"。$\frac{1}{x^{p}}$ 的尾巴衰减得快不快，全看 $p$：$p>1$ 时尾巴细得能数清（收敛），$p\le1$ 时再细也攒成无穷大。

这句话要拆成两半看。先截断，再看截出来的面积：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\dd x}{x}$ 的真实含义是 $\lim_{b\to+\infty}\ln b$，这个极限不存在，所以面积没有限。数字上感受一下它有多慢：$\int_1^{10^6}\frac{\dd x}{x}=\ln10^6\approx13.8$，$\int_1^{10^{12}}\frac{\dd x}{x}\approx27.6$——上限涨了一百万倍，面积只多了 $13.8$。慢，但确实没有上限。

对比 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\dd x}{x^2}$：截断后是 $1-\frac1b$，$b\to+\infty$ 时趋于 $1$。所以"尾巴越来越窄"本身说明不了任何问题，要看窄得够不够快。$p$ 就是量这把尺子的刻度。

本节带走：两类反常：无穷限、瑕点；拆开时两段都收敛才算收敛。

11.2 $p$ 判别：一把标尺

$p$ 判别的重要性在于它给了一把标准尺。判断一个新积分收敛不收敛，最省力的办法是把它和已知敛散的积分比大小；而 $\int\frac{\dd x}{x^p}$ 恰好覆盖了所有"幂型"的尾巴：$p$ 大一点收敛，小一点发散，边界卡在 $p=1$。所以拿到题的第一件事不是算，是看端点上被积函数的主项是几次幂。

边界为什么偏偏是 $1$？因为 $\displaystyle\int_1^b\frac{\dd x}{x}=\ln b$ 正好处在"发散得极慢"的位置：$p$ 比 $1$ 大一点点，$\frac{1}{p-1}$ 就有限；比 $1$ 小一点点，$\frac{b^{1-p}}{1-p}$ 就爆掉。对数函数是幂函数的分水岭——这条分界线在下册的级数里会以 $\sum\frac1{n^p}$ 的形式再出现一次。

本节带走：$p$ 判别是标尺：无穷限看 $p>1$，瑕点看 $p<1$。

11.3 比较判别法

两种形式怎么选？能算出比值极限就用极限形式：它只要求 $\frac fg\to c\in(0,+\infty)$，不必亲手造不等式，等价替换（$x$ 大时 $\sqrt{x^2+1}\sim x$、$x$ 大时 $\sin\frac1x\sim\frac1x$）都能直接用，是首选。造不出等价、只能放缩时才用原形式：此时要盯住方向——它只肯往一个方向推。

本节带走：比较法：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

11.4 绝对收敛与条件收敛

本节带走：绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛；条件收敛靠正负振荡抵消。

11.5 变号时的判别：Dirichlet 与 Abel

被积函数不变号时比较法就够；一旦变号，就需要"一部分有界 + 另一部分单调趋零"。

上面 $\int\frac{\sin x}{x}$ 正是 Dirichlet 的样板：$\int_1^A\sin x\,\dd x$ 有界，$\frac1x$ 单调趋零。

本节带走：变号时用 Dirichlet：一部分有界，一部分单调趋零。

预习阶段可以跳过这一份；想快速对齐、或做题时查公式，翻它最省时间。所有结论都在正文里出现过，这里只压成表格。

三份附录对应三种时刻：A 是做题卡住想查公式，B 是考前想知道自己会多少，C 是开学第一周问这学期怎么过。查表前先读每节的两句话——表前「什么时候翻到这里」，表后「最常错的那条」。

A.1 极限

求极限算不下去、不知道该夹逼还是单调有界、要证「极限不存在」时翻这里。前两行是定义，后五行是判定工具。

第一行和第五行值得对比：$\eps$-$N$ 要先写出极限值 $a$，Cauchy 准则只比较 $a_m$ 与 $a_n$ 自己，所以它是「证存在」而不是「求值」的工具。这也是为什么 $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ 这类题必须先说「收敛」，才有资格设 $L=\sqrt{6+L}$。

A.2 导数

求导算错、或要判断「这条公式在这一点能不能用」时翻这里。公式五分钟能抄完，真正要记的是定义域。

A.3 Taylor 展开（$x_0=0$，带 Lagrange 余项）

等价无穷小不够用（要更精确的阶）、要估误差、要判断函数在一点附近的符号时翻这里。

$\sin x$ 那一行的余项能写成 $o(x^{2m+2})$，是因为 $\sin$ 是奇函数、$x^{2m+2}$ 项系数必为 $0$，真正的下一项是 $x^{2m+3}$，余项其实是 $O(x^{2m+3})$。写成 $o(x^{2m+2})$ 合法，还留了余量。

A.4 积分

换元：$\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\dd x=\int f(u)\dd u$；定积分换元要同时换上下限。

分部：$\displaystyle\int u\,\dd v=uv-\int v\,\dd u$，选 $u$ 的顺序「反对幂指三」。

积分算不出来、忘换上下限、或要判断该套哪条公式时翻这里。积分表就是导数表倒着读。

换元就是链式法则倒着写：「$\dd u=\varphi'(x)\dd x$」不是代数约分，而是说这一项必须配套出现。定积分换元要同时换限：$u$ 与 $x$ 的区间不同。例：$\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}\dd x$，取 $u=x^2$，限仍 $0\to1$，得 $\dfrac12\displaystyle\int_0^1e^u\dd u=\dfrac{e-1}{2}$。

A.5 反常积分

积分限里有 $\infty$、或被积函数在某点炸掉时翻这里。反常积分先问收敛，再问值。

A.6 中值定理一览

要证「存在 $\xi$」、要构造辅助函数、或判断某个条件能否去掉时翻这里。重点在条件列，不在结论列。

Rolle 的三个条件可以逐个拆掉看：$|x|$ 在 $[-1,1]$ 上缺「$(a,b)$ 内可导」；$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上缺「$f(a)=f(b)$」；把区间换成 $(0,1)$，「闭区间上连续」这一条也没了，而 $2x$ 在 $(0,1)$ 上确实没有驻点。三种拆法都让结论失效。

A.7 常用不等式

要放缩、估界、证不等式时翻这里。两个要害：方向、等号取到的条件。

$|\sin x|\le|x|$ 就是「弦长不超过弧长」：单位圆上 $|x|$ 是弧，$|\sin x|$ 是半弦的两倍。它是 $\lim\dfrac{\sin x}{x}=1$ 夹逼那半边的依据（$x>0$ 时 $0\le1-\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac{x^2}{6}$）。推论 $|\sin a-\sin b|\le|a-b|$ 则是 Lagrange 一句话的事，见附录 B 第 18 题。数字感：$e^{0.01}\ge1.01$，实际 $1.01005$，差 $5\times10^{-5}$。

20 题，建议限时 90 分钟、闭卷。答案在每题下方折叠，先写完整再展开。

90 分钟怎么切：判断 15 分钟、计算 25 分钟、证明 45 分钟，留 5 分钟查符号。三组按分值合计 $16+30+42=88$ 分，文末三档是按百分制写的，按比例折算即可（75 分约合百分制 85 分）。

这组题在考什么：只考定理的方向与条件。八句话里，有的是定理原话，有的把箭头反了过来，有的漏了一个条件。选项只有对错，猜对不算会。

第一组 · 判断（每题 2 分）

这组题在考什么：不考「会不会算」，考三十秒内能否认出该用哪个标准动作。六个空对应六种动作：凑 $\left(1+\frac1t\right)^t$ 的定义式、分子有理化、Taylor 展开到同阶、分部积分、定积分分部、反常积分按定义算。

第二组 · 计算（每题 5 分）

这组题在考什么：能不能自己造一个论证。六道分别压在：$\eps$-$N$ 的格式、先证存在再求值的顺序、存在性与唯一性、把函数值之差翻译成导数、递推的反复使用、反常积分按定义算到底。没有一道需要灵感。

第三组 · 证明（每题 7 分）

C.1 16 周地图

这张表的顺序不按难易，按依赖链：

• 第 1–2 周先立住「实数没有洞」：后面每次「取极限得到实数」都靠它，第一章欠的账全书在还。
• 第 3–5 周的 $\eps$-$N$ 是全书唯一能从容练 $\eps$ 语言的地方；第 6–7 周的函数极限只是把 $N$ 换成 $\delta$，趁热接最省力。
• 第 8 周考条件的敏感度，重点在反例：最值定理出了闭区间就崩（$1/x$ 在 $(0,1)$ 上无界），一致连续也一样。
• 第 11–12 周是上半学期的兑现：Rolle 要最值定理，Taylor 要 Lagrange，L'Hospital 要 Cauchy——这章塌，后面全塌。
• 第 13 周的六定理等价要用中值定理与区间套，所以排在用熟它们之后；14–15 周依赖链最短，16 周倒着走一遍。

C.2 每天 40 分钟

三张卡说的是「什么时候做」，下面说「具体怎么用」。40 分钟按三步切，一步都不能少：

举个具体的：今天讲一致连续。读——圈出 $\forall\eps\exists\delta\forall x_1,x_2$，注意 $\delta$ 不依赖 $x$；算——证 $x^2$ 在 $[0,1]$ 上一致连续，试 $\delta=\eps/2$，靠 $|x_1^2-x_2^2|\le2|x_1-x_2|$ 够用；写——写「一致连续 = 一个 $\delta$ 管全区间」，反例补 $1/x$ 在 $(0,1)$。

C.3 十个高频误区

十条之所以高频，是因为每条背后都有一个「看起来对」的理由。说清理由才改得掉：

1. 把 $\forall\eps$ 换成具体数：高中「取特殊值」的习惯还在；在分析里它只能找反例，不能证命题。
2. 先取极限再证存在：求极限做多了，$\lim$ 像是随手能写的符号；写下它时已经假设了存在。
3. 用 L'Hospital 证 $\frac{\sin x}{x}\to1$：见到 $\frac00$ 就想上；但它的证明要用 $(\sin x)'=\cos x$，而这条又依赖该极限——绕回原点。
4. 加减法里用等价替换：乘除里从没出过错；差别是相减时主部相消，被忽略的高阶项反成主角。
5. 开区间照搬闭区间定理：结论顺口，条件被当套话跳过；闭区间的作用是「挡住跑掉」，端点一跑最值就没了。
6. 以为 $f'=0$ 就是极值：教材求极值几乎都先解 $f'=0$；$x^3$ 说明驻点只是候选，还要看两侧符号。
7. 忘记 $+C$：定积分里 $C$ 会抵消；但不定积分是一族函数，漏了就漏掉无穷多个。
8. 换元后不换上下限：不定积分换元不管限，习惯带了过来；变量已换成 $u$ 还写 $x$ 的限，等于用两把尺子量同一段。
9. 把「有界」当「收敛」：「有界」听着像「不会跑太远」；$(-1)^n$ 有界，却一直在两个值之间跳。
10. 反常积分用奇偶性直接得 $0$：对称区间上奇函数积分为 $0$ 太好用；但那要求积分存在，先收敛才有「值」。

C.4 考前 7 天

1. 第 7–5 天：只看定义与定理的条件，把"去掉条件会怎样"的反例过一遍。
2. 第 4–3 天：重做附录 B 的错题，每题写完整过程，不许跳步。
3. 第 2 天：把附录 A 的表格抄一遍（手抄，不打印），重点在导数与积分公式。
4. 第 1 天：只看错题本与反例本，早睡。